Глава 6. Многочлены от нескольких неизвестных §1. Кольцо многочленов от n неизвестных

Определение 1. Многочленом f(x₁,x₂,…,x_n) от n неизвестных x₁,x₂,…,x_n над некоторым полем Р называется сумма конечного числа членов вида , где все k_i≥0 и аР.

Лемма 1. Пусть К – кольцо без делителей нуля, и f(x), g(x) – два многочлена из К[x]\0. Тогда deg f(x)g(x)=deg f(x) + deg g(x).

Доказательство. Пусть f(x)=a₀xⁿ+…+a_n, g(x)=b₀x^m+…+b_m, a₀≠0, b₀≠0 (1). Тогда f(x)g(x)= a₀b₀xⁿ+…+a_nb_m (2). Так как в К нет делителей нуля, то из неравенств (1) следует, что a₀ b₀≠0, а тогда из (2) получаем deg f(x)g(x)=m+n= deg f(x) + deg g(x).

Лемма доказана.

Следствие. При условиях леммы в К[x] нет делителей нуля (ибо из f(x) ≠0 и g(x)≠0 и леммы 1 следует, что f(x)g(x)≠0).

Лемма 2. Пусть К – кольцо без делителей нуля, тогда множество К[x] – кольцо без делителей нуля.

Доказательство. То, что К[x] – кольцо, доказывается так же, как и ранее для Р[х], где Р – произвольное поле.

Отсутствие в К[x] делителей нуля доказано в следствии леммы 1.

Лемма доказана.

Теорема 1. Множество P[x₁,x₂,…,x_n] всех многочленов от n неизвестных над полем Р– кольцо без делителей нуля.

Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по n. Действительно, при n=1 утверждение верно в силу леммы 2. Пусть уже доказано, что множество P[x₁,x₂,…,x_n-1]=S многочленов от n-1 неизвестных x₁,x₂,…,x_n-1 с коэффициентами из поля Р составляют кольцо без делителей нуля.

Всякий многочлен f(x₁,…x_n) от n неизвестных x₁, x₂,…,x_n-1, x_n можно представить, притом единственным способом, как многочлен от неизвестного x_n с коэффициентами, являющимися многочленами от x₁,x₂,…,x_n-1, т.е. из кольца S: P[x₁,x₂,…,x_n]=S[x_n]. И наоборот, всякий многочлен от x_n с коэффициентами из кольца S можно рассматривать, конечно, как многочлен над полем Р от всей совокупности неизвестных x₁, x₂,…,x_n-1, x_n. Значит, P[x₁,x₂,…,x_n]=S[x_n]. (3)

По лемме 2 S[x_n] – кольцо без делителей нуля. Теперь из (3) следует, что P[x₁,x₂,…,x_n] – кольцо без делителей нуля.

Теорема доказана.

Определение 2. Степенью члена называется число m=k₁+…+k_n.

Для многочленов от одного неизвестного мы имеем два естественных способа расположения членов – по убывающим и по возрастающим степеням неизвестного. В случае многочленов от нескольких неизвестных такие способы уже отсутствуют. Например, если дан многочлен, все члены которого имеют пятую степень – f(х₁,х₂,х₃)= х₁х²₂х²₃+ х⁴₁х₃+х³₂х²₃+х²₁х₂х²₃, – то его можно записать и в виде f(х₁,х₂,х₃)= х⁴₁х₃ +х²₁х₂х²₃ +х₁х²₂х²₃+ +х³₂х²₃, и нет оснований одну из этих записей предпочесть другой.

Существует, однако, способ вполне определенного расположения членов многочлена от нескольких неизвестных, зависящий, впрочем, от выбора нумерации неизвестных; для многочленов от одного неизвестного он приводит к расположению членов по убывающим степеням неизвестного.

Этот способ, называемый лексикографическим, подсказан обычным приемом расположения слов в словарях: считая буквы упорядоченными так, как это принято в алфавите, мы определяем взаимное положение двух данных слов в словаре по их первым буквам, если же эти буквы совпадают, то по вторым буквам и т.д.

Если теперь «алфавитом» считать {x₁,x₂,…,x_n}, то по указанному выше способу можно сравнить два любых члена многочлена.

Пусть (4) и (5) – два (неподобных) члена многочлена f(x₁,…x_n).

Определение 3. Будем говорить, что член (4) выше члена (5), если k₁>t₁ или k₁=t₁, но k₂>t₂, и т.д. (обратите внимание, что коэффициенты a и b при таком сравнении не принимаются во внимание).

Теперь можно расположить члены многочлена «по высоте»: первый – член, который выше всех остальных, за ним – член, который выше всех из оставшихся и т.д. Такое расположение членов многочлена называется лексикографическим.

Пример. Так, члены многочлена f(x₁,x₂,x₃,x₄)=x₁⁴+3x₁²x₂³x₃–x₁²x₂³x₄²+5x₁x₃x₄² +2x₂+x₃³x₄–4 расположены лексикографически.

Определение 4. Член многочлена f(x₁,x₂,…,x_n), который выше всех других его членов, называется высшим членом этого многочлена.

Нетрудно доказывается следующая лемма.

Лемма 3. Высший член произведения двух или нескольких многочленов от n неизвестных равен произведению высших членов сомножителей.

Доказательство этого утверждения можно посмотреть в [1].