§2. Метрическая классификация квадрик
Пусть
задана квадрика
(1)
в
некотором ортонормированном репере
точечно-векторного евклидова пространства
.
Постараемся
упростить это уравнение с помощью
перехода к другому ортонормированному
реперу, т.е. при помощи преобразований
координат вида
,
где
– ортогональная
матрица (другими словами, при помощи
ортогональных преобразований неизвестных
и сдвигов).
Приводим действительную квадратичную форму к главным осям с помощью ортогонального преобразования неизвестных:
.
(11)
Получим
(12) ,
где
– характеристические корни матрицы
квадратичной формы
.
Из (1) после преобразования (11) получим
.
(13)
Если
,
что
и
,
то
дополним
до полного квадрата, вынося
:
.
Затем с помощью сдвигов убираются первые степени нескольких переменных. Получим
.
(14)
.
,
тогда можно
доказать, что существует ортогональное
преобразование неизвестных, после
которого из вида (14) получим
,
(15)
если
в (14)
,
то получим
.
Если
,
то совершив сдвиг, из (15) получим
.
(16)
Мы получили в пункте I следующие типы квадрик:
а)
параболоиды
,
если в (16) r+1=n;
б) параболические цилиндры , если в уравнении (16) (r+1)<n.
II.
В (14)
при всех
,
т.е. (14) имеет вид
.
(17)
Возможны подслучаи.
II.
1.
,
тогда из (17) получим
.
(18)
Если
одного
знака и
,
получаем эллипсоиды,
при
-эллиптические
цилиндры.
Если
в уравнении (18)
,
то оно принимает вид
либо
(пара
параллельных гиперплоскостей
,
),
либо
(пара
мнимых гиперплоскостей).
Если среди чисел в (18) есть как положительные, так и отрицательные числа,
то (18) имеет вид
(19),
где
>0
– гиперболоиды
(при
)
и гиперболические
цилиндры
(при
<
).
.2.
В (17)
,
т.е. (17) имеет вид
.
(20)
Если
в уравнении (20)
,
то в зависимости от значений коэффициентов
и
это уравнение перепишется в одной из
следующих форм:
,
(21)
.
(22)
Уравнение (22) есть уравнение пересекающихся гиперплоскостей:
,
,
а уравнение (21) по аналогии с предыдущим называется уравнением пары мнимых пересекающихся гиперплоскостей:
,
.
Если
в уравнении (20)
,
то оно примет вид
– это уравнение пары
слившихся гиперплоскостей.
Мы получили все метрические классы квадрик.
Можно доказать, что канонические виды (16), (18), (19), (20) (с различными возможными значениями входящих в них параметров) определяют квадрики, которые с помощью преобразований движения нельзя одну перевести в другую, т.е. различные метрические типы квадрик.
§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду
Находить
канонический вид кривой второго порядка
можно
описанным выше способом. При этом
используются только приведение
квадратичной формы к главным осям и
сдвиги.
Если
задана поверхность 2-го порядка
,
то
используя метод,
указанный
выше в §2,
можно найти её канонический вид и тем
самым узнать тип поверхности и её
расположение относительно первоначальной
системы координат (найдя линейное
преобразование неизвестных, приводящее
эту поверхность к каноническому виду).
В пункте предыдущего параграфа упоминалось ортогональное преобразование неизвестных, позволяющее в рассматриваемом там случае свести число неизвестных в первой степени к одному. Для поверхностей 2-го порядка это необходимо тогда, когда после приведения квадратичной формы к главным осям и возможных сдвигов в уравнении останется больше одного неизвестного в первой степени, т.е. два таких неизвестных. Такое уравнение будет иметь вид
,
где
.
(23)
Чтобы
избавиться от одной из первых степеней
неизвестного (
или
),
совершаем поворот системы координат
вокруг оси
на угол
.
Он задается ортогональным преобразованием
неизвестных:
.
(24)
Подставляем
из (24) в (23) и угол
выбираем таким, чтобы коэффициент при
был равен нулю. После этого легко
получается канонический вид этой
поверхности.