§4. Аффинные преобразования

Определение 12. Пусть А – -мерное аффинное пространство c пространством трансляций над полем . Отображение множества А в себя, при котором любая точка А , имеющая координаты ( ) в некотором репере, переходит в точку с теми же координатами в другом репере, называется аффинным преобразованием пространства А .

Возьмем в какой-нибудь вектор . При аффинном преобразовании А точки , переходят соответственно в точки , , имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки , имели относительно старого. Следовательно, при аффинном преобразовании пространства А вектор переходит в вектор , имеющий относительно нового репера те же координаты, которые вектор имел относительно старого репера. Отсюда в свою очередь получаем, что при аффинном преобразовании равным векторам соответствуют равные, так что аффинное преобразование аффинного пространства порождает преобразование линейного пространства трансляций.

Это преобразование линейно, т.е.

, для любых и любого .

Эти равенства нетрудно доказать переходом к координатам. Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из сказанного выше следует, что при аффинном преобразовании сохраняется линейная зависимость векторов.

Таким образом, преобразование, обратное к аффинному преобразованию, есть аффинное преобразование.

Действительно, если данное аффинное преобразование задается переходом от репера к реперу , то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера к реперу , является, как легко видеть, преобразованием, обратным к .

Теперь нетрудно увидеть, что при аффинном преобразовании каждая линейно независимая система векторов переходит в линейно независимую – в противном случае при аффинном преобразовании , обратном к , линейно зависимая система перешла бы в линейно независимую, что , как мы знаем, невозможно.

Из определения аффинного преобразования следует, что при данном аффинном преобразовании, определенном переходом от репера к реперу , множество всех точек, координаты которых в репере удовлетворяют некоторой системе уравнений, переходит в множество точек, координаты которых в системе удовлетворяют той же системе уравнений. Отсюда следует, что, в частности, при аффинных преобразованиях -мерные плоскости ( )переходят в -мерные плоскости.

Пусть аффинное преобразование аффинного пространства задается переходом от репера к реперу . Предположим, что векторы заданы своими координатами относительно старого репера , причем , а координаты точки относительно старого репера . Тогда (как показано в §2) координаты любой точки относительно старого репера связаны с координатами той же точки относительно нового репера соотношениями

, (9)

Нам даны: произвольная точка с координатами относительно старого репера и ее образ , имеющий относительно нового репера те же координаты , которые точка имела относительно старого репера. Требуется найти координаты точки относительно старого репера. Решение этой задачи дается формулами (9), в которые вместо нужно подставить координаты точки в новом репере, т.е . Тогда в левой части (9) получим искомые координаты точки в старом репере, т.е.

, (10)

Формулы (2) выражают координаты точки -образа точки при аффинном преобразовании – через координаты точки (те и другие координаты берутся при этом относительно одного того же «старого» репера).

Обозначим через и соответственно столбцы координат точек , и относительно репера , и пусть Тогда формулы (10) можно переписать в матричном виде:

, (11)

где – невырожденная матрица. Если аффинное преобразование задано в виде (11), то обратное к нему преобразование записывается, как

. (12)

Частными случаями преобразования (11) являются преобразования

, (13)

переводящие в себя начало координат и называемые центроаффинными преобразованиями с центром , а также преобразования

, (14)

называемые переносами, или трансляциями.

Нетрудно проверить, что центроаффинные преобразования и переносы составляют подгруппы группы аффинных преобразований, которые называют «центроаффинная группа» и «группа переносов».

Теорема 4. Относительно умножения множество всех аффинных преобразований аффинного пространства А составляет группу (она называется аффинной группой).

Справедливость этого утверждения легко устанавливается из определения аффинного преобразования. Единичным элементом этой группы является тождественное преобразование.

Теорема 5. Всякое аффинное преобразование есть произведение центроаффинного и переноса.

Доказательство. Пусть – преобразование аффинного пространства(записанное в виде (11)).

Рассмотрим преобразования (центроаффинное) и (сдвиг).

Если их совершить последовательно, получим (подставляя ): .Теорема доказана.