§6. Приведение квадратичной формы к главным осям

Пусть f(x,x) – квадратичная форма с матрицей А, заданная на действительном линейном пространстве L, А – ее матрица. Как известно, матрица А симметрическая. По следствию из основной теоремы о симметрических преобразованиях (матричная форма основной теоремы) существует такая ортогональная матрица Q, что Q^-1AQ=B (1), где В – диагональная матрица. Так как Q – ортогональная матрица, то Q^-1=Q’. Из (1) следует, что B= Q^’AQ (2). Мы знаем, что это равенство встречается в теории квадратичных форм: если квадратичную форму f с матрицей А подвергнуть невырожденному линейному преобразованию Х=QУ (3), то получим квадратичную форму с матрицей B= Q^’AQ. Так как Q – ортогональная матрица, то (3) – ортогональное преобразование неизвестных. В силу (2), так как , и после преобразования (3) f принимает вид: f=₁y₁²+...+_ny_n² (4). Это – канонический вид.

Сформулируем и дополним полученный результат.

Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму f(x,x) с помощью ортогонального преобразования неизвестных (3) можно привести к каноническому виду (4), причем этот вид единственный с точностью до обозначений неизвестных (такое приведение квадратичной формы называется приведением к главным осям.)

Доказательство. Существование доказано выше.

Единственность. Имеем: B = Q^’AQ = Q^-1AQ (так как Q – ортогональная матрица). Следовательно, матрица В подобна А. Так как характеристические многочлены подобных матриц совпадают, то . Следовательно, ₁…_n – спектр матрицы А, причем _i R. Но спектр матрицы единственен, и поэтому канонический вид (4) тоже единственен.

Теорема доказана.

Практическое приведение к главным осям

Пусть g(x,x) – действительная квадратичная форма, А – ее матрица. Пусть в евклидовом пространстве V_n найден СОН-базис симметрического преобразования , имеющего в базисе е матрицу А (способ его нахождения смотрите ниже).

Если этим СОН-базисом будет f₁,...,f_n и Q – матрица перехода от е к f, то по доказанному выше Q^’AQ=B, где В – диагональная матрица, по диагонали которой стоят характеристические корни матрицы А. В СОН-базисе f квадратичная форма g(x,x) будет иметь канонический вид (4).

Практическое нахождение сон-базиса

Для практического нахождения СОН-базиса φ поступаем так:

1. Находим все характеристические корни ₁,..., _n (6) матрицы А, решая уравнение |А-Е|=0 (среди них могут быть и одинаковые). Они действительные, так как А – симметрическая матрица.

2. Записываем канонический вид g(x,x)= ₁y₁²+...+_ny_n² . (7)

3. Пусть ₁,..., _s – все различные характеристические корни матрицы А и k_i – кратность характеристического корня _i (i=1,...,s). Отметим, что

k₁+…+ k_s=n . (8)

Для дальнейшего нам понадобится лемма.

Лемма 1. Если ₀ – характеристический корень кратности k₀ симметрического преобразования φ конечномерного евклидова пространства V_n, то в V_n существует k₀ линейно независимых собственных векторов, относящихся к собственному значению ₀.

Доказательство. По основной теореме о симметрических преобразованиях в V_n существует СОН-базис f₁,...,f_n (9) преобразования φ. Матрица φ в этом базисе диагональная, причем по диагонали стоят числа (6). Среди этих чисел ₀ встречается по условию k₀ раз. Значит, в базисе (9) существует k₀ собственных векторов преобразования φ, относящихся к собственному значению ₀. Так как они линейно независимы (как часть базиса), то это искомые векторы.

Лемма доказана.

4)В силу леммы 1, решая систему уравнений (А- _iЕ)Х=0, для каждого _i (i=1,...,s) можно найти k_i линейно независимых собственных векторов, относящихся к собственному значению _i.

Ортогонализируем эту систему векторов с помощью процесса ортогонализации и нормируем каждый ее вектор.

Лемма 2. Собственные векторы симметрического преобразования φ, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть , , причем . Тогда , . Так как φ – симметрическое преобразование, то . Значит, или, ввиду , .

Лемма доказана.

5)Соберем вместе все найденные выше системы векторов для i=1,2,...,s. Получим систему из n (в силу (8)) ортов. То, что эта система будет ортогональной, следует из леммы 2. Значит, мы получили искомый СОН-базис.

Если Q – матрица из координатных столбцов полученного СОН-базиса, то Х=QУ – ортогональное преобразование неизвестных, приводящее g(х,х) к каноническому виду (7).

Замечание. С помощью приведения квадратичной формы к главным осям можно находить канонический вид кривых и поверхностей 2-го порядка, приводя сначала к главным осям квадратичные формы из их уравнений.