§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях

Теорема 1. Пусть φ – симметрическое преобразование евклидова пространства V, H – подпространство пространства V, инвариантное относительно φ. Тогда его ортогональное дополнение Н┴ в V также инвариантно относительно φ.

Доказательство. Пусть a H, b Н┴. Значит, (а, b)=0 для любых а, b. Так как по условию Н инвариантно относительно φ, то φ(а) H. Следовательно, (φ(а), b)=0. Так как φ – симметрическое преобразование, то (а, φ(b))= (φ(а), b)=0. Значит, φ(b) Н┴ и Н┴ инвариантно относительно преобразования φ.

Теорема доказана.

Теорема 2 (основная теорема о симметрических преобразованиях). Линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n является симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда в V_n существует ортонормированный базис из собственных векторов φ (иначе говоря, СОН-базис преобразования φ).

Достаточность. Пусть в евклидовом пространстве V_n существует СОН-базис (е₁,…,е_n) (1) преобразования φ. Тогда φ(е₁)=λ₁е₁; φ(е₂)=0е₁+ λ₂е₂;_…; φ(е_n)=0е₁+…+ λ_nе_n, так как е_i – собственные векторы преобразования φ. Поэтому φ имеет в базисе (1) матрицу А= . Так как А=А′, то А является симметрической матрицей. А это значит, в силу теоремы 2 из §4, что φ – симметрическое преобразование.

Необходимость. Пусть φ – симметрическое преобразование n-мерного евклидова пространства V_n. Существование СОН-базиса будем доказывать индукцией по n.

1. n=1. Тогда V=<a>. Можно взять а=е₁ – орт. Тогда V=<е₁>. Так как φ (е₁) V, то φ(е₁)=λ₁е₁ и е₁ – собственный вектор φ. Значит, е₁ – искомый СОН-базис.

2. Пусть утверждение теоремы уже доказано для (n-1)-мерного евклидова пространства.

3. Докажем, что теорема верна для n-мерного евклидова пространства V_n. По следствию 2 теоремы 3 из §4 в V_n существует собственный вектор b преобразования φ, т.е. φ(b)=λ₁b, λ₁ R, b≠0. Нормируем его: =е₁. Тогда φ(е₁)=λ₁е₁; е₁ – орт.

Пусть Н=<е₁>. Размерность Н равна 1. Если h Н, то h= αе₁. Так как φ(αе₁)= αφ(е₁)= αλ₁е₁ Н, то подпространство Н инвариантно относительно линейного преобразования φ.

Рассмотрим Н┴. По теореме 2 из §6 главы 2 V=H Н┴. Так как размерность V_n равна n, размерность Н равна 1, то из равенства dimV_n = dimH + dimН┴ следует, что размерность Н┴ равна (n-1).

По теореме 1 из этого параграфа Н┴ инвариантно относительно φ, т.е. φ является и линейным преобразованием Н┴. Тогда φ – симметрическое преобразование (n-1)-мерного евклидова пространства Н┴. В силу предположения индукции в Н┴ существует СОН-базис е₂,…,е_n (1) преобразования φ.

Рассмотрим систему векторов е₁, е_2,…,е_n (2). Здесь (е₁, е_i)=0 при любом i≠1, так как е₁ Н, а е_i Н┴. Далее, e_j – орты и собственные векторы преобразования φ (j=1...n). Отсюда из ортонормированности системы (1) следует, что (2) – ортонормированная система из n векторов V_n. Так как эти векторы ненулевые, то она линейно независима, и потому (2) – искомый СОН-базис преобразования φ.

Теорема доказана.

Следствие (матричная форма основной теоремы). Любая действительная симметрическая матрица А подобна некоторой диагональной матрице В, причем подобие можно осуществить с помощью ортогональной матрицы Q (т.е. Q^-1AQ=B).

Доказательство. Пусть n – порядок матрицы А. Существует n-мерное линейное пространство над R (например, арифметическое R⁽ⁿ⁾). Если в нем задать скалярное произведение, то получим евклидово пространство V_n, размерность которого равна n.

Выберем в V_n некоторый ортонормированный базис е. Существует линейное преобразование φ пространства V_n, которое в базисе e имеет данную матрицу А. Так как А – симметрическая матрица, то по теореме 2 из §4 φ – симметрическое преобразование. По основной теореме (теорема 2) в V_n существует СОН-базис f преобразования φ. В нем φ имеет диагональную матрицу В. Следовательно, А и В – матрицы преобразования φ в разных ортонормированных базисах, а тогда эти матрицы подобны, т.е. Q^-1AQ=B, где Q – матрица перехода от е к f. Так как е и f – ортонормированные базисы, то Q по теореме 3 из §1 главы 2 – ортогональная матрица.

Следствие доказано.