§4. Симметрические преобразования

Определение 11. Линейное преобразование φ евклидова пространства V называется симметрическим, если φ = φ*, т.е. для любых векторов a, b V выполняется равенство: (φ(а), b) = (а, φ(b)).

Пример. Преобразование растяжения: φ(а)=а для любого а V. Тогда (φ(а), b) =(а, b)=  (а, b)=(а, b)= (а, φ(b)).

Определение 12. Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает с транспонированной.

Теорема 1. Симметрическое преобразование конечномерного евклидова пространства V_n в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.

Действительно, из φ = φ* следует A=A’, т.е. А – симметрическая матрица.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2. Если линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n имеет в некотором ортонормированном базисе симметрическую матрицу A, то φ – симметрическое преобразование.

В самом деле, из A=A’ следует, что φ = φ*, т.е. φ – симметрическое преобразование.

Теорема 3. Все характеристические корни симметрической матрицы являются действительными числами.

Доказательство. Пусть ₀ – характеристический корень (быть может, комплексный) симметрической матрицы А=(_ij), т.е. |A-₀E|=0. Тогда система линейных однородных уравнений с комплексными коэффициентами , i=1,2,…,n, имеет равный нулю определитель, т.е. обладает ненулевым решением ₁, ₂, …, _n, вообще говоря, комплексным; таким образом, , i=1,…,n. (1)

Умножая обе части i-го из равенств (1) на число , сопряженное с числом , и складывая отдельно левые и правые части всех получающихся равенств, мы приходим к равенству . (2)

Коэффициент при ₀ в (2) является отличным от нуля действительным числом, будучи суммой неотрицательных действительных чисел, хотя бы одно из которых строго положительно. Действительность числа ₀ будет поэтому доказана, если мы докажем действительность левой части равенства (2), для чего достаточно показать, что это комплексное число совпадает со своим сопряженным.

Здесь впервые будет использована симметричность (действительной) матрицы А. Имеем: . Заметим, что предпоследнее равенство получено простой переменой обозначений для индексов суммирования: вместо i поставлено j, вместо j поставлено i.

Теорема доказана.

Следствие 1. Все характеристические корни симметрического преобразования φ конечномерного евклидова пространства V_n действительны, т.е. являются его собственными значениями.

Доказательство. Характеристические корни симметрического преобразования по определению совпадают с характеристическими корнями матрицы этого преобразования в некотором базисе, т.е. действительны по теореме 3. Но по теореме о связи между характеристическими корнями и собственными значениями линейного преобразования действительного линейного пространства действительные характеристические корни φ – это и есть собственные значения φ.

Следствие 2. Любое симметрическое преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n имеет хотя бы один собственный вектор (ибо если существует собственное значение линейного преобразования φ, то по определению существует в V_n и собственный вектор этого преобразования).