§2. Сопряженные линейные преобразования

В связи с наличием скалярного произведения в евклидовых пространствах можно выделить специальные виды линейных преобразований таких пространств. Мы рассмотрим:

1) сопряженные преобразования;

2) ортогональные преобразования;

3) симметричные преобразования.

Определение 9. Пусть V – евклидово пространство и φ – его линейное преобразование. Линейное преобразование φ* пространства V называется сопряженным с φ, если для любого вектора а из V справедливо равенство: (φ(a),b)=(a, φ*(b)). (1)

Теорема 1. Пусть линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n имеет в некотором ортонормированном базисе е матрицу А. Тогда линейное преобразование φ*, имеющее в этом же базисе матрицу А’, является сопряженным с φ.

Доказательство. Надо проверить для такого φ* справедливость равенства (1). Пусть [a], [b], [φ(a)], [φ*(b)] – координатные столбцы векторов, стоящих внутри скобок, в базисе е. Тогда, как известно, [φ(a)]=A[a] (2), [φ*(b)]=A’[b] (3). Так как базис е ортонормированный, то (φ(a),b)=[φ(a)]’[b]=(A[a])'[b]=[a]’A’[b] (4). С другой стороны, (a,φ*(b))=[a]’A’[b] (5). Из (4) и (5) следует (1).

Теорема доказана.

Замечание 1. Из данного способа нахождения φ* не видно, будет ли у φ единственное сопряженное преобразование. Однако это легко получается из следующей леммы.

Лемма 1. Пусть φ и ψ – линейные преобразования евклидова пространства, удовлетворяющие для любых a, b  V условиям: (a, φ(b))=(a, ψ(b)) (6). Тогда φ = ψ.

Доказательство. Из равенства (6) и свойств скалярного произведения следует: (a,(φ- ψ)b)=0 (7). В частности, взяв a=(φ- ψ)b, получим: ((φ- ψ)b,(φ- ψ)b)=0. Следовательно, (φ- ψ)b=0, т.е. φb = ψb для любого b  V. Значит, φ = ψ.

Лемма доказана.

Следствие. У всякого линейного преобразования φ конечномерного евклидова пространства существует единственное сопряженное преобразование.

Доказательство. Существование доказано в теореме 1. Докажем единственность. Пусть наряду с равенством (1) выполняется равенство (φ(a),b)=(a, ψ (b)) (8). Из (1) и (8) следует, что (a, φ*(b)) = (a, ψ (b)). По лемме 1 φ* = ψ.

Следствие доказано.

Замечание 2. Равенство (1) можно переписать в виде (φ*(b),a)=(b,φ(a)). Значит, (φ*)*= φ, поэтому φ и φ* – взаимно сопряженные преобразования.

§3. Ортогональные преобразования

Определение 10. Линейное преобразование φ евклидова пространства V называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. для любого а,b V справедливо равенство: (φ(а), φ(b))=(a,b).

Примеры. Ортогональными преобразованиями плоскости R₂ являются поворот плоскости, симметрия относительно оси.

Теорема 1. Линейное преобразование φ евклидова пространства V тогда и только тогда является ортогональным преобразованием, когда φ*=φ^-1.

Достаточность. Пусть φ*=φ^-1. Тогда (φ(а), φ(b))= (а, φ*φ(b)) = (а, φ^-1 φ(b)) = (а, ε(b))=(a,b), т.е. φ – ортогональное преобразование.

Необходимость. Пусть φ – ортогональное преобразование. Тогда по определению 10 (φ(а), φ(b))=(a,b). Отсюда и из определения сопряженного преобразования следует: (φ(а), φ(b))= (а, φ*( φ(b))) = (а, φ*φ(b))= (a,b)=(а, ε(b)), для любого а, b V. Тогда по лемме 1 φ φ*= ε. Значит, φ*=φ^-1 .

Теорема доказана.

Теорема 2. Ортогональное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n переводит любой ортонормированный базис е₁,…,е_n (1) в ортонормированный базис.

Доказательство. Рассмотрим систему векторов φ(е₁),…, φ(е_n) (2). Так как φ – ортогональное преобразование, то (φ(е_i), φ(е_i))= (е_i , е_i)=1 (3) и (φ(е_i), φ(е_j))= (е_i , е_j)=0, где i≠j (мы исходили из того, что базис (1) ортонормированный). Значит, (2) – ортонормированная система n векторов n-мерного евклидова пространства V_n. Так как φ(е_i) ≠0 (в силу (3)), то система (2) линейно независима, а значит, является базисом V_n.

Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 3. Если линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n переводит некоторый ортонормированный базис е=(е₁,…,е_n) в ортонормированный базис е'=(е'₁,…,е'_n), то φ является ортогональным преобразованием.

Доказательство. Пусть и – любые векторы из V_n. Так как е – ортонормированный базис, то (4). По условию φ(е_i)= е_i'. Тогда , . Так как е' – ортонормированный базис, то (5).

Сравнивая (5) и (4), получаем, что (φ(а), φ(b))=(a,b). Следовательно, φ – ортогональное преобразование.

Теорема доказана.

Теорема 4 (о матрицах ортогонального преобразования). Ортогональное преобразование φ конечномерного евклидова пространства V_n в любом ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу.

Доказательство. Пусть е – любой ортонормированный базис V_n, А – матрица преобразования φ в базисе е. В силу теоремы 1 §2 и следствия леммы 1, φ* имеет в этом базисе матрицу А'; но φ^-1 имеет матрицу А^-1. По теореме 1 §3 φ*= φ^-1. Следовательно, А'= А^-1 (6), что означает, что матрица А является ортогональной матрицей.

Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 5. Если линейное преобразование φ евклидова пространства V_n в некотором ортонормированном базисе V_n имеет ортогональную матрицу, то φ – ортогональное преобразование.

Доказательство. Пусть линейное преобразование φ имеет в ортонормированном базисе е ортогональную матрицу А, т.е. А'= А^-1. Тогда φ*=φ^-1 и по теореме 1 этого параграфа φ – ортогональное преобразование V_n.

Теорема доказана.