§7. Унитарные пространства

Для случая линейных пространств над полем С комплексных чисел понятие скалярного произведения несколько видоизменяется, точнее, изменяется аксиома 1 и частично аксиома 4.

Определение 6. Будем говорить, что в линейном пространстве L над полем С определено скалярное произведение, если любой упорядоченной паре a, b L поставлено в соответствие единственное комплексное число (a, b) и выполняются следующие требования для любых a, b, с L и любого  C:

1) ;

2) (a+b, c)=(a,c)+(b,c);

3) (a,b)=(a,b);

4) (a,a) R и (a,a)>0 при а 0.

Определение 7. Линейное пространство над С, в котором задано скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1) – 4), называется унитарным пространством.

Для большинства результатов, полученных в теории евклидовых пространств, можно получить близкие к ним утверждения и для унитарных пространств. В частности, отметим, что и в ортонормированных базисах унитарного пространства скалярное произведение вычисляется по такой формуле: .

С основными результатами, полученными в теории унитарных пространств, можно ознакомиться, например, по книгам [5] и [3].

Глава 3. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств §1. Ортогональные матрицы

Мы рассмотрим некоторые полезные виды линейных преобразований евклидовых пространств и связанные с ними матрицы.

Определение 8. Квадратная действительная матрица А, для которой А’=А^-1, называется ортогональной матрицей.

Примеры. Е, , .

Теорема 1. Множество Q всех ортогональных матриц n-ого порядка составляет группу по умножению.

Доказательство. Проверим сначала замкнутость умножения в Q.

Пусть А и В содержатся в Q. Тогда по определению 8 А’=A^-1 (1), B’=B^-1 (2). Рассмотрим (AB)’. Имеем (AB)’=B’A’=В^-1А^-1=(АВ)^-1 (мы использовали равенства (1) и (2)). Следовательно, АВQ. Далее, EQ. Наконец, если AQ, из (1) следует: (А^-1)^-1=А=(А’)’=(A^-1)’. Поэтому Q. Значит, Q – группа.

Теорема доказана.

Свойства ортогональных матриц

1. Если А – ортогональная матрица, то АА’=A’A=E (3). Это свойство, очевидно, равносильно определению 8.

2. Если AQ, то |A|= 1. Действительно из (3) следует: |AA’|=|A||A’|=|A|²=|E|=1. Значит, |A|= 1. В частности, всякая ортогональная матрица невырожденная.

Следующие важные свойства ортогональных матриц докажем в теореме 2.

Теорема 2. Пусть дана действительная матрица А= . А является ортогональной тогда и только тогда, когда выполняются равенства: (4) и (5) при i j.

Необходимость. Пусть АQ. Тогда по свойству 1 АА’=Е

(6). Значит, верны равенства (4) и (5).

Достаточность. Пусть выполняются равенства (4) и (5).Тогда, очевидно АА’=Е, и поэтому А’=А^-1, т.е. А – ортогональная матрица.

Теорема доказана.

Замечание 1. Нетрудно доказать (используя равенство АА’=Е), что свойства, аналогичные (4) и (5) для столбцов матрицы А, также равносильны определению ортогональной матрицы.

Теорема 3. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса е к другому ортонормированному базису е’ конечномерного евклидова пространства V_n является ортогональной матрицей.

Доказательство. . Т=(τ_kj) – матрица перехода от е в е’. Так как е – ортонормированный базис, то скалярное произведение векторов в нем равно сумме произведений соответствующих координат. Учитывая это и то, что е’ – ортонормированный базис, получаем: (e_i’,e_i’)= =1 (6) и (e_i’,e_j’)= =0 (7) при i j. Из (6) и (7), в силу замечания 1 к теореме 2, следует, что Т – ортогональная матрица.

Теорема доказана.