
- •Я. Д. Половицкий алгебра
- •Введение
- •Основные обозначения
- •Часть 1 Глава 1. Комплексные числа §1. Система комплексных чисел
- •§2. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •§4. Сопряженные числа
- •Свойства сопряженных чисел
- •§5. Возведение комплексных чисел в степень
- •§6. Извлечение корня из комплексного числа
- •§7. Решение квадратных уравнений
- •Квадратные уравнения с действительными
- •Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
- •§8. Корни из единицы
- •Свойства
- •Первообразные
- •Глава 2. Отображения множеств §1. Основные определения
- •§2. Умножение отображений
- •Правая запись.
- •Свойства умножения отображений
- •§3. Преобразования множеств
- •Глава 3. Перестановки и подстановки §1. Перестановки из n чисел
- •§2. Подстановки n-й степени
- •Глава 4. Определители n-го порядка §1. Определение определителя
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Вычисление определителей
- •§4. Еще одно свойство определителей
- •Глава 5. Матрицы §1. Простые и двойные суммы
- •Свойства простых сумм
- •Двойные суммы
- •Свойства двойных сумм
- •§2. Линейные преобразования неизвестных
- •§3. Умножение матриц
- •§4. Обратная матрица
- •Единственность единичной и обратной матриц
- •§5. Решение матричных уравнений
- •Матричное доказательство теоремы Крамера
- •Глава 6. Основные алгебраические структуры §1. Алгебраическая операция
- •§2. Группы
- •§3. Кольца
- •Некоторые следствия из аксиом кольца
- •Делители нуля
- •§4. Поля
- •Некоторые следствия из аксиом поля
- •§5. Подполя и расширения полей
- •§6. Изоморфизм колец (полей)
- •§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений
- •§8. Определители и матрицы над произвольным полем
- •Глава 7. Многочлены и их корни §1.Кольцо многочленов
- •§2. Деление с остатком
- •§3 Делители. Свойства делимости многочленов
- •Свойства делимости многочленов
- •§4.Наибольший общий делитель
- •Следствие из алгоритма Евклида
- •Свойства взаимно простых многочленов
- •§5.Корни многочленов
- •Метод Горнера
- •Кратные корни
- •§6.Число корней многочлена в произвольном поле
- •Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем
- •Поле разложения многочлена
- •§7.Формулы Виета
- •§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •Следствия из основной теоремы
- •Отделение кратных корней
- •§9.Многочлены с действительными коэффициентами
- •§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями c и r
- •Неприводимые многочлены над полем c
- •Неприводимые многочлены над полем r
- •Глава 8. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства
- •Основные примеры линейных пространств
- •§ 2. Линейная зависимость векторов
- •§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы
- •§ 4. Основная теорема о линейной зависимости. Ее следствия
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости
- •§ 5. Конечномерные линейные пространства
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств
- •§ 6. Изоморфизм линейных пространств
- •§ 7. Координаты вектора
- •§ 8. Матрица перехода
- •Связь координат вектора а в разных базисах
- •§ 9. Подпространства линейного пространства
- •Глава 9. Ранг матрицы и системы линейных уравнений § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
- •Следствия из теоремы о базисном миноре
- •Применение ранга матрицы для решения вопросов о линейной зависимости в пространстве p(n)
- •Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве
- •§ 2. Системы линейных уравнений
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Обоснование практического способа решения систем линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •Общее решение
- •Число решений совместной системы линейных уравнений
- •Однородные системы и их пространства решений
- •Размерность пространства решений однородной системы
- •§ 3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений
- •§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- •Глава 10. Линейные преобразования линейных пространств § 1. Линейные отображения линейных пространств
- •§2. Линейные преобразования линейных пространств
- •Координаты образа вектора при линейном преобразовании
- •§ 3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства
- •Понятие о нормальной форме Жордана
- •§4. Операции над линейными преобразованиями
- •§ 5. Ядро и область значений линейного преобразования
- •Невырожденные линейные преобразования
- •§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •§ 7. Линейные преобразования с простым спектром
- •Часть 2 глава 1. Числовые функции на линейных пространствах
- •§1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Квадратичные формы
- •Переход к новому базису
- •§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Комплексный нормальный вид
- •Действительный нормальный вид
- •§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
- •Положительно определенные квадратичные формы
- •Глава 2. Евклидовы пространства §1. Скалярное произведение
- •§2. Ортогональные системы векторов
- •§3. Длина вектора. Угол между векторами
- •Корректность определения угла вытекает из неравенств , равносильных неравенству Коши – Буняковского: .
- •§4. Ортонормированные базисы
- •§5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •§6. Ортогональные дополнения подпространств
- •§7. Унитарные пространства
- •Глава 3. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств §1. Ортогональные матрицы
- •Свойства ортогональных матриц
- •§2. Сопряженные линейные преобразования
- •§3. Ортогональные преобразования
- •§4. Симметрические преобразования
- •§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях
- •§6. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •Практическое приведение к главным осям
- •Практическое нахождение сон-базиса
- •Глава 4. Аффинные пространства и аффинные преобразования §1. Определение аффинного пространства
- •§2. Система координат в аффинном пространстве
- •§3. Плоскости в аффинных пространствах
- •§4. Аффинные преобразования
- •§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии
- •Группы и геометрии
- •Глава 5. Квадрики §1. Квадрики в аффинных пространствах
- •§2. Метрическая классификация квадрик
- •§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду
- •Глава 6. Многочлены от нескольких неизвестных §1. Кольцо многочленов от n неизвестных
- •§2. Симметрические многочлены
- •§3. Однородные симметрические многочлены
- •§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Половицкий Яков Давидович Алгебра
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
§5. Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 5. Два евклидовых пространства V и V’ называются изоморфными, если существует биекция φ: V→V’, удовлетворяющая условиям:
1) φ – изоморфизм линейных пространств V и V’;
2) при отображении φ сохраняется скалярное произведение, т.е. (φ(a), φ(b))=(a, b) для любых a, b V.
Такое отображение φ называется изоморфным отображением или изоморфизмом евклидовых пространств V и V’.
Теорема (критерий изоморфизма конечномерных евклидовых пространств). Два конечномерных евклидовых пространства V и V’ изоморфны тогда и только тогда, когда dimV=dimV’ (10).
Необходимость.
Пусть V
V’.
Тогда по определению 5 они изоморфны,
как линейные пространства, и, как
известно, выполняется (10).
Достаточность.
Пусть
dimV=dimV’=n
(11). Выберем в V
ортонормированный базис e1,…,en
(12), в V’
–
ортонормированный
базис e’1,…,e’n
(13). Возьмем любой вектор а
из V:
.
Определим отображение φ
так: полагаем
(15). Нетрудно проверить, что φ
– изоморфизм линейных пространств V
и V’.
Покажем, что при отображении φ сохраняется скалярное произведение.
Пусть
(16). По определению φ
имеем:
(17). Так как базис (12) ортонормированный,
то по теореме 4
(18). Но базис (13) также ортонормированный,
и поэтому
(19). Из (18) и (19) получаем:
.
Значит, φ – изоморфизм евклидовых пространств V и V’, т.е. V V’.
Теорема доказана.
Следствие. Если конечномерное действительное линейное пространство L любыми способами превращается в евклидово пространство, то получаются изоморфные евклидовы пространства (так как их размерность одна и та же и равна dim L).
Этим мы ответили на вопрос 1 из замечания 2 §1 этой главы.
§6. Ортогональные дополнения подпространств
Определение. Множество Н┴ всех векторов евклидова пространства V, ортогональных к каждому вектору его подпространства Н, называют ортогональным дополнением к Н.
Пример. В евклидовом пространстве векторов-отрезков на плоскости ОХ┴=ОУ.
Теорема 1. Ортогональное дополнение Н┴ к подпространству Н евклидова пространства V является подпространством V.
Доказательство. Пусть у1,у2 Н┴. Тогда для любого вектора х Н имеем: (х, у1)=0 и (х, у2)=0. Следовательно, (х, у1+у2)= (х, у1)+(х, у2)=0, т.е. вектор у1+у2 ортогонален любому вектору х Н. Это означает, что (у1+у2) Н┴. Мы доказали, что сумма любых двух векторов множества Н┴ принадлежит Н┴. Аналогично для любого действительного числа λ и любого х Н имеем:
(х, λ у1)= λ(х, у1)= λ∙0= 0, т.е. вектор λу1 ортогонален любому вектору х Н, а значит, принадлежит Н┴. Таким образом, множество Н┴ замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа и, следовательно, является подпространством евклидова пространства V.
Теорема доказана.
Теорема
2. Пусть V
– конечномерное евклидово пространство,
Н
– его подпространство. Тогда справедливо
равенство: V=Н
Н┴.
Доказательство.
Рассмотрим
Н∩Н┴.
Пусть (Н∩Н┴)
h.
Тогда (h,h)=0,
и поэтому h=0
и Н∩Н┴=0.
Докажем,
что V=Н+Н┴.
В Н
выберем ортогональный базис h1,…,hs
(он существует, так как Н
– конечномерное евклидово пространство).
Его можно дополнить до базиса V.
Пусть h1,…,hs,
hs+1,…,hn
(1) – такой базис. Если к (1) применить
процесс ортогонализации, начиная с
вектора hs+1,
то из (1) получится ортогональный базис
V:
h1,…,hs,
bs+1,…,bn.
Имеем: H
= < h1,…,hs
> (2).
Рассмотрим подпространство S=<
bs+1,…,bn
> (3). Очевидно,
что S
Н┴, так как
любой вектор h
Н представим
в виде
и
,
ибо
.
Далее
.
Отсюда, учитывая (2) и (3), следует, что
а
(Н+S).
Следовательно,
V=
Н+S,
а так как S
Н┴, то V=Н+Н┴.
Но (Н∩Н┴)=0,
и поэтому V=Н
Н┴.
Теорема доказана.