§3. Длина вектора. Угол между векторами

Определение 1. Нормой, или длиной, вектора а евклидова пространства V называется число |а| = (корень берется арифметический).

Часто норма обозначается так: ||a||.

Отметим, что так как (а, а)0, то длина вектора всегда существует. Если |а|=0, то а=0, и обратно.

Определение 2. Если |е|=1, то вектор е называется нормированным вектором или ортом.

Покажем, что любой ненулевой вектор можно нормировать, если его разделить на его длину. Действительно, . Введем обозначение: = е. Тогда (е, е)=1, т.е. е – орт.

Определение 3. Базис е₁,…,е_n (1) евклидова пространства V_n называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных ортов, т.е. для любых i, j=1,...,n (e_i, e_j)=0 (2) при i j и (e_i, e_i)=1 (3).

Теорема 3. Во всяком конечномерном евклидовом пространстве V_n существует ортонормированный базис.

Доказательство. Рассмотрим ортогональный базис b₁,...,b_n (4) пространства V_n (он существует в силу следствия 1 теоремы 2) и нормируем каждый его вектор. Получим: е₁,…,е_n (5), где = е_i. Нетрудно проверить, что система (5) останется ортогональной, так как если (c, d)=0, то для любых ,  из R справедливо равенство (c, d)=  (c, d)=0, т.е. векторы c и d также ортогональны.

Система (5) – это n попарно ортогональных ненулевых векторов. Она по теореме 1 линейно независима, и так как n=dim V_n, то (5) – базис V. Это искомый ортонормированный базис.

Теорема доказана.

Замечание 1. Ниже в конечномерных евклидовых пространствах мы будем выбирать только ортонормированные базисы.

По аналогии с геометрией на плоскости в любом евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между векторами.

Определение 4. Углом между ненулевыми векторами х и у евклидова пространства V называют угол , определяемый соотношениями .

Корректность определения угла вытекает из неравенств , равносильных неравенству Коши – Буняковского: .

Доказательство (этого неравенства). По определению скалярного произведения для любых векторов х и у из V и любого действительного числа  выполняется неравенство . Из него получаем: . Левая часть последнего неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно . Поскольку этот трехчлен неотрицательный, его дискриминант меньше или равен нулю, т.е. .

Неравенство Коши – Буняковского доказано.

Следствие. Для любых двух векторов x и y евклидова пространства V справедливо неравенство треугольника .

Доказательство. Действительно, раскрывая величину как скалярный квадрат и учитывая, что в силу неравенства Коши – Буняковского , находим: .

Так как числа и неотрицательные, то отсюда вытекает справедливость неравенства треугольника.

Следствие доказано.

§4. Ортонормированные базисы

О значимости ортонормированных базисов свидетельствует теорема 4.

Теорема 4. Базис (5) евклидова пространства V_n является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов a, b  V_n их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат в этом базисе, т.е. (6), где – координатный столбец вектора а, – координатный столбец вектора b в базисе е.

Необходимость. Пусть (5) – ортонормированный базис V_n. Имеем: , . Тогда , т.к. (e_i, e_j)=0 при i j, а (е_i,е_i)=1.

Справедливость равенства (6) доказана.

Достаточность. Пусть в базисе (5) скалярное произведение вычисляется по формуле (6) для любых a, b  V_n. Рассмотрим e_i=0∙e₁+...+1∙e_i+…+0∙e_n и e_j=0∙e₁+...+1∙e_j+...+0∙e_i +…+0∙e_n.

По формуле (6) имеем: (e_i,e_i)=0∙0+...+1∙1+...+0∙0=1, (e_i,e_j)=0∙0+...+0∙1+...+1∙0+...+0∙0=0. Значит, базис (6) – ортонормированный.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть в линейном пространстве V_n задан некоторый базис a₁,…,a_n (8). Тогда V_n можно превратить в евклидово пространство так, что базис (8) будет ортонормированным.

Доказательство. По теореме о превращении конечномерного линейного пространства в евклидово пространство V_n можно превратить в евклидово пространство, задав в нем скалярное произведение векторов как сумму произведений их соответствующих координат в базисе (8). В силу теоремы 3 тогда (8) становится ортонормированным базисом.

Следствие 2. Если в конечномерном линейном пространстве L_n любым способом задано скалярное произведение, то в нем найдется такой базис, в котором скалярное произведение будет вычисляться по формуле .

Действительно, таким базисом будет ортонормированный базис. Его существование доказано ранее, а эта формула установлена в теореме 3.

Замечание 1. Следствие 2 показывает, что способ превращения конечномерного линейного пространства в евклидово, указанный в теореме 1, является универсальным. Этим мы ответили на вопрос 2 из замечания 2 §1 этой главы: каким бы способом в конечномерном линейном пространстве ни вводилось скалярное произведение, его можно свести к способу, указанному в теореме 1.