Комплексный нормальный вид
Рассмотрим квадратичные формы над полем С комплексных чисел.
Из
канонических видов (20) такой квадратичной
формы можно выбрать наиболее простой:
для этого возьмем в (19) числа
такими, чтобы
,
т.е.
(21). Тогда после линейного преобразования
(19) с этими (комплексными) коэффициентами
вид (20) будет таким:
(22)
. Такой канонический вид называют
комплексным
нормальным видом,
или нормальным
видом над
.
Он определяется только рангом квадратичной формы . Это канонический вид, в котором все квадраты входят с коэффициентом либо +1, либо 0.
Действительный нормальный вид
Рассмотрим
квадратичную форму
над полем
действительных чисел и её канонические
виды (20):
.
Коэффициенты в (20) действительные.
Как получить “наиболее простой” из этих действительных канонических видов?
Формулы
(21) нам не помогут, если
,
ибо здесь мы имеем право совершать
линейные преобразования только с
действительными коэффициентами.
Совершим
линейное преобразование (19) с действительными
коэффициентами
(23), ,
,
Тогда
(20) имеет следующий вид:
(24)
, где
(25).
Этот канонический вид называют действительным нормальным видом, или нормальным видом над полем .
С
точностью до нумерации неизвестных его
можно записать так:
(26).
§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
Естественно возникает вопрос: сколько действительных нормальных видов (ДНВ) может быть у действительной квадратичной формы?
Теорема
5. Если
квадратичная форма
в двух базисах действительного линейного
пространства
имеет действительные нормальные виды
(26) и
(27), то
(28).
Доказательство.
Предположим противное. Не нарушая
общности, можно считать, что
(29). Пусть
имеет ДНВ (26) в базисе
,
а ДНВ (27) – в базисе
.
Рассмотрим
следующие два подпространства: линейную
оболочку
(30) и линейную оболочку
.
(31) Тогда
(32) (ибо
–
базис
),
а
(33) (в силу (31)).
Рассмотрим
сумму
.
Имеем:
(34).
Но
–
подпространство линейного пространства
,
поэтому
.
Отсюда и из (34) получаем:
.
Отсюда и из неравенства (29) получаем:
,
т.е.
.
Значит,
. Так как
,
то из (31) следует:
(35). Если теперь в ДНВ (26) подставить
координаты вектора
,
то получим:
,
т.е.
(36) (равенство нулю возможно, если,
например, только
).
С
другой стороны, из
следует:
(37), где
,
Отметим,
что
,
и поэтому
.
Подставив координаты вектора
в (27), получим:
(38) .
Неравенство
(38) противоречит неравенству (36). Значит,
наше предположение
ложно. Аналогично ложно и
.
Таким образом ,
.
Теорема доказана.
Определение
8. Число
положительных квадратов в действительном
нормальном виде действительной
квадратичной формы
называется положительным
индексом
инерции
,
число отрицательных квадратов –
отрицательным
индексом инерции
.
Разность
называется
сигнатурой
квадратичной
формы
.
Замечание 6. Закон инерции означает единственность действительного нормального вида с точностью до обозначений.
Нетрудно доказать следующее:
Утверждение. Если и – две действительные квадратичные формы, то одну из них можно перевести в другую с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же действительный нормальный вид.
Доказательство.
Если
,
то
.
И наоборот, если
,
то ДНВ(1) и ДНВ(2) – два действительных
нормальных вида
и по закону инерции они совпадают.
Утверждение доказано.