Часть 2 глава 1. Числовые функции на линейных пространствах

Рассмотрим некоторые полезные функции одной и двух переменных, заданные на линейном пространстве над произвольным полем и принимающие значения в этом поле (их называют числовыми функциями).

§1. Линейные функции

Определение 1. Линейное отображение линейного пространства над полем в называют линейной функцией, или линейной формой, заданной на .

Примером линейной функции является функция заданная на любом линейном пространстве над полем .

Нетрудно получить общий вид линейной функции, заданной на произвольном конечномерном линейном пространстве.

Теорема 1. Пусть - мерное линейное пространство над , – линейная функция на и – произвольный базис . Тогда в этом базисе функция запишется так:

, (1)

где – координатный столбец вектора в базисе ,

Доказательство. Пусть . Так как – базис , то . По определению линейной функции отсюда получаем: . Введём обозначения: , Получаем:

, где ,

Теорема доказана.

Нетрудно проверить, что множество всех линейных функций, заданных на линейном пространстве над полем , также является линейным пространством над . Его называют сопряженным (или двойственным) к .

Подробнее об и его связях с можно прочитать в [3].

Замечание. В записи (1) – переменный вектор из , – переменные, принимающие значения в поле .

§2. Билинейные функции

Рассмотрим теперь числовую функцию двух переменных, заданную на линейном пространстве.

Определение 2. Пусть – линейное пространство над . Функция двух переменных , заданная на и принимающая значения в поле , называется билинейной функцией (или билинейной формой), если она линейна по каждому аргументу, т.е. и справедливы равенства:

;

(линейность по при неизменном ) и аналогичная линейность по при неизменном .

Билинейную функцию также можно записать в координатах, если – конечномерное линейное пространство над .

Пусть – некоторый базис , Тогда , .

Учитывая определение билинейной функции, получаем: . (2)

Введем обозначения: . Тогда из (2) получим:

(3) – запись билинейной функции в координатах ( т.е. в некотором базисе пространства ).

Определение 3. Матрица из элементов , входящих в запись (3), называется матрицей билинейной функции .

Определение 4. Если (4), то билинейную функцию вида (3) называют симметричной.

Пример. Рассмотрим скалярное произведение векторов-отрезков на плоскости. Легко проверить, что это – симметричная билинейная форма.

§3. Квадратичные формы

Определение 5. Пусть – симметричная билинейная функция на линейном пространстве . Если положить , то числовая функция одной переменной называется квадратичной формой.

Пример. Рассмотрим на пространстве векторов-отрезков скалярный квадрат вектора . Нетрудно убедиться, что это – квадратичная форма.

Из определения квадратичной формы и вида (3) билинейной формы следует, что

. (5)

Мы получили вид квадратичной формы, заданной на конечномерном линейном пространстве, в некотором базисе этого пространства.

Матрица называется матрицей квадратичной формы .

Заметим, что в силу определений 4 и 5 или , т.е. матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали (такую матрицу называют симметрической).

Ниже мы будем рассматривать квадратичные формы в основном на конечномерных линейных пространствах.

Замечание 1. На квадратичную форму (5) можно смотреть также как на многочлен вида (5) от переменных над , все члены которого – степени 2. Тогда её обозначают через . Отметим, что неизвестные мы считаем перестановочными.

Введем обозначение: . Тогда . Пусть – матрица квадратичной формы (5).

Рассмотрим . Умножив это равенство слева на , получим

.

Мы показали:

(6). Это матричная запись квадратичной формы .

Легко проверить справедливость следующего утверждения:

Лемма. Пусть и – две матрицы и существует . Тогда .

Замечание 2. Индукцией отсюда получаем .