§7. Решение квадратных уравнений
Квадратные уравнения с действительными
коэффициентами
(1),
,
.
Корни такого уравнения, как известно, находятся по формулам:
(2),
где
.
Возможны случаи:
А)
,
уравнение имеет два различных
действительных корня;
Б)
,
два совпадающих действительных корня;
В)
,
два различных сопряженных комплексных
корня, которые находятся по формуле:
.
Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
Рассмотрим
уравнение (1) при условии
,
.
Для решения уравнения так же, как и для
уравнений с действительными коэффициентами,
можно вывести формулу (2), где дискриминант
.
Учитывая, что квадратных корней из
дискриминанта ровно два (по теореме 1)
и, очевидно, они отличаются только
знаком, получаем
Утверждение. Всякое квадратное уравнение с комплексными коэффициентами имеет два комплексных корня (возможно, совпадающих).
§8. Корни из единицы
Представим
единицу в тригонометрической форме:
(1). Тогда корни n-ой
степени из единицы находятся по формулам:
,
причем
(2) – все различные корни
.
Среди корней (2) обязательно есть 1, что
позволяет находить их геометрически,
т.к. они делят единичную окружность на
n
равных частей.
Свойства
1= .
Если n – четное, то
.Если
,
то
(следует из того, что среди корней
есть единица, и они делят единичную
окружность на n
равных частей).Если , – два корня , то их произведение равно некоторому корню .
Доказательство.
По условию
.
Тогда
;
значит,
.
Если , то
.Если , то для любого целого числа k имеем:
.
Действительно,
так как
,
то
,
т.е.
.
Особая роль видна из следующего утверждения:
Теорема
2. Все корни
n-ой
степени из комплексного числа α≠0 можно
получить умножением какого-то одного
на все
.
Доказательство.
Пусть
,
– все различные корни
.
Рассмотрим произведения
(3).
Так как
,
то
;
следовательно,
– один из
.
Все числа (3) – это
,
их n
и, очевидно, они все различны, а так как
различных
ровно n,
то (3) – это все различные
(других нет).
Теорема доказана.
Первообразные
Определение.
=
называется первообразным
корнем n-ой
степени из 1,
если он не является корнем никакой
меньшей, чем n,
натуральной степени из единицы, т.е.
,но
,
.
Теорема
3. Для любого
натурального числа n
существует хотя бы один первообразный
:
им является, например,
(он получается из общего вида корней
n-ой
степени из 1
при k=1).
Доказательство.
По формуле Муавра имеем:
(4)
Пусть
;
из равенства (4) следует:
. Мы знаем, что
– все различные
;
т.к.
,
то среди чисел
единицы нет. Итак,
,
но
;
значит,
– первообразный
.
Теорема доказана.
Теорема
4.
=
является первообразным
тогда и только тогда, когда все его
степени вида
(5) различны.
Необходимость.
Пусть
– первообразный
.
Докажем, что все числа (5) различны.
Предположим, что найдутся такие индексы
(6), что
, но
(7). Пусть
;
тогда из равенства (7) следует:
(8), причем в силу условия (6) имеем:
(9). Записи (8) и (9) противоречат тому, что
– первообразный
.
Следовательно, предположение неверно,
и все числа
различны.
Достаточность.
Пусть
(10) и все числа (5) различны. Тогда
(11) ибо
,
а остальные из чисел (5) не могут равняться
.
Из равенства (10) и условия (11) следует,
что
– первообразный
(по определению первообразного
).
Теорема доказана.
Следствие. Пусть –первообразный корень . Тогда числа (5) – все различные . В частности, каждый есть некоторая степень первообразного .
Доказательство. Так как , то по свойствам , числа (5) – это ; в силу теоремы 4 они различны. Их число равно n, и потому числа (5) – это все .
Замечание. Из доказанного следует правило нахождения всех :
Найти один из этих корней .
Найти первообразный = .
Составить произведения
.
Это – все
.
Сформулируем еще один критерий первообразности .
Теорема
5. Число
,
где
,
является первообразным
тогда и только тогда, когда числа k
и n
взаимно простые, т.е. (k,n)=1.
Доказательство этого утверждения можно посмотреть в [1].