§ 5. Ядро и область значений линейного преобразования

Определение 10. Пусть  – линейное преобразование линейного пространства L. Множество j(L) образов всех векторов из L при действии j называют областью значений преобразования j (т.е. (L)={(a)| aL}).

Утверждение 1. Область значений (L) линейного преобразования j является подпространством L.

Доказательство. Действительно, если b₁, b₂j(L), то b₁=j(a₁), b₂=j(a₂), где a₁, a₂L. Поэтому b₁+b₂=j(a₁)+j(a₂)=j(a₁+a₂)j(L). Аналогично b₁=j(a₁)=j(a₁)j(L). Следовательно, множество j(L) является подпространством линейного пространства L.

Утверждение доказано.

Определение 11. Пусть L  конечномерное линейное пространство. Размерность области значений (L) линейного преобразования j пространства L называют рангом линейного преобразования .

Теорема 5. Ранг линейного преобразования  равен рангу матрицы этого преобразования (в любом базисе).

Доказательство. Пусть е=(е₁,…,e_n) – базис L. Для любого аL имеем: . Отсюда . Это означает, что (L)=<(e₁), (e₂),…,(e_n)>. Тогда dim (L) равна рангу системы векторов (e₁), (e₂),…,(e_n) (1). Пусть А  матрица преобразования  в базисе е. Тогда столбцы А – это координатные столбцы векторов (1) в базисе е. Поэтому ранг системы (1) равен рангу r_A матрицы А, т.е. dim (L)=r_A.

Теорема доказана.

Определение 12. Множество всех векторов линейного пространства L, которые переводятся линейным преобразованием j в нулевой вектор, называется ядром линейного преобразования j и обозначается Ker.

Легко проверяется, что ядро линейного преобразования является подпространством линейного пространства L.

Определение 13. Если L – конечномерное линейное пространство, то размерность ядра линейного преобразования этого пространства называют дефектом линейного преобразования .

Примеры.

Рассмотрим некоторые линейные преобразования плоскости R₂.

1.  – проектирование R₂ на ось OX. Тогда (L) – это все векторы оси OX, Ker – все векторы оси OY. Ранг и дефект  равны 1.

2.  – поворот плоскости на угол k. Тогда (R₂)=R₂, Ker=0. Ранг  равен 2, дефект  равен 0.

3.  – симметрия плоскости относительно начала координат. Тогда (R₂)=R₂, Ker=0. Ранг  равен 2, дефект  равен 0.

Теорема 6. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р,  – его линейное преобразование. Если ранг  равен r, то дефект  равен n-r (т.е. dim Ker=n-r).

Доказательство. Вектор bL содержится в Ker тогда и только тогда, когда (b)=0 (2). Если е – некоторый базис L, А – матрица  в этом базисе, то (2) выполняется тогда и только тогда, когда А[b]=0, т.е. [b] – решение однородной системы АХ=0 (3). Так как по теореме 5 ранг А равен r, то пространство решений этой системы имеет размерность (n-r). Но это пространство решений изоморфно Ker, так как координатные столбцы всех векторов из Ker, и только таких векторов, удовлетворяют системе (3). Значит, dim Ker=n-r.

Теорема доказана.

Следствие. Если L – n-мерное линейное пространство, то

dim (L)+dim Ker=n.

Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 5 и 6, ибо r+(n-r)=n.