- •Я. Д. Половицкий алгебра
- •Введение
- •Основные обозначения
- •Часть 1 Глава 1. Комплексные числа §1. Система комплексных чисел
- •§2. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •§4. Сопряженные числа
- •Свойства сопряженных чисел
- •§5. Возведение комплексных чисел в степень
- •§6. Извлечение корня из комплексного числа
- •§7. Решение квадратных уравнений
- •Квадратные уравнения с действительными
- •Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
- •§8. Корни из единицы
- •Свойства
- •Первообразные
- •Глава 2. Отображения множеств §1. Основные определения
- •§2. Умножение отображений
- •Правая запись.
- •Свойства умножения отображений
- •§3. Преобразования множеств
- •Глава 3. Перестановки и подстановки §1. Перестановки из n чисел
- •§2. Подстановки n-й степени
- •Глава 4. Определители n-го порядка §1. Определение определителя
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Вычисление определителей
- •§4. Еще одно свойство определителей
- •Глава 5. Матрицы §1. Простые и двойные суммы
- •Свойства простых сумм
- •Двойные суммы
- •Свойства двойных сумм
- •§2. Линейные преобразования неизвестных
- •§3. Умножение матриц
- •§4. Обратная матрица
- •Единственность единичной и обратной матриц
- •§5. Решение матричных уравнений
- •Матричное доказательство теоремы Крамера
- •Глава 6. Основные алгебраические структуры §1. Алгебраическая операция
- •§2. Группы
- •§3. Кольца
- •Некоторые следствия из аксиом кольца
- •Делители нуля
- •§4. Поля
- •Некоторые следствия из аксиом поля
- •§5. Подполя и расширения полей
- •§6. Изоморфизм колец (полей)
- •§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений
- •§8. Определители и матрицы над произвольным полем
- •Глава 7. Многочлены и их корни §1.Кольцо многочленов
- •§2. Деление с остатком
- •§3 Делители. Свойства делимости многочленов
- •Свойства делимости многочленов
- •§4.Наибольший общий делитель
- •Следствие из алгоритма Евклида
- •Свойства взаимно простых многочленов
- •§5.Корни многочленов
- •Метод Горнера
- •Кратные корни
- •§6.Число корней многочлена в произвольном поле
- •Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем
- •Поле разложения многочлена
- •§7.Формулы Виета
- •§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •Следствия из основной теоремы
- •Отделение кратных корней
- •§9.Многочлены с действительными коэффициентами
- •§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями c и r
- •Неприводимые многочлены над полем c
- •Неприводимые многочлены над полем r
- •Глава 8. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства
- •Основные примеры линейных пространств
- •§ 2. Линейная зависимость векторов
- •§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы
- •§ 4. Основная теорема о линейной зависимости. Ее следствия
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости
- •§ 5. Конечномерные линейные пространства
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств
- •§ 6. Изоморфизм линейных пространств
- •§ 7. Координаты вектора
- •§ 8. Матрица перехода
- •Связь координат вектора а в разных базисах
- •§ 9. Подпространства линейного пространства
- •Глава 9. Ранг матрицы и системы линейных уравнений § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
- •Следствия из теоремы о базисном миноре
- •Применение ранга матрицы для решения вопросов о линейной зависимости в пространстве p(n)
- •Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве
- •§ 2. Системы линейных уравнений
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Обоснование практического способа решения систем линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •Общее решение
- •Число решений совместной системы линейных уравнений
- •Однородные системы и их пространства решений
- •Размерность пространства решений однородной системы
- •§ 3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений
- •§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- •Глава 10. Линейные преобразования линейных пространств § 1. Линейные отображения линейных пространств
- •§2. Линейные преобразования линейных пространств
- •Координаты образа вектора при линейном преобразовании
- •§ 3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства
- •Понятие о нормальной форме Жордана
- •§4. Операции над линейными преобразованиями
- •§ 5. Ядро и область значений линейного преобразования
- •Невырожденные линейные преобразования
- •§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •§ 7. Линейные преобразования с простым спектром
- •Часть 2 глава 1. Числовые функции на линейных пространствах
- •§1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Квадратичные формы
- •Переход к новому базису
- •§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Комплексный нормальный вид
- •Действительный нормальный вид
- •§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
- •Положительно определенные квадратичные формы
- •Глава 2. Евклидовы пространства §1. Скалярное произведение
- •§2. Ортогональные системы векторов
- •§3. Длина вектора. Угол между векторами
- •Корректность определения угла вытекает из неравенств , равносильных неравенству Коши – Буняковского: .
- •§4. Ортонормированные базисы
- •§5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •§6. Ортогональные дополнения подпространств
- •§7. Унитарные пространства
- •Глава 3. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств §1. Ортогональные матрицы
- •Свойства ортогональных матриц
- •§2. Сопряженные линейные преобразования
- •§3. Ортогональные преобразования
- •§4. Симметрические преобразования
- •§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях
- •§6. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •Практическое приведение к главным осям
- •Практическое нахождение сон-базиса
- •Глава 4. Аффинные пространства и аффинные преобразования §1. Определение аффинного пространства
- •§2. Система координат в аффинном пространстве
- •§3. Плоскости в аффинных пространствах
- •§4. Аффинные преобразования
- •§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии
- •Группы и геометрии
- •Глава 5. Квадрики §1. Квадрики в аффинных пространствах
- •§2. Метрическая классификация квадрик
- •§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду
- •Глава 6. Многочлены от нескольких неизвестных §1. Кольцо многочленов от n неизвестных
- •§2. Симметрические многочлены
- •§3. Однородные симметрические многочлены
- •§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Половицкий Яков Давидович Алгебра
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
§4. Операции над линейными преобразованиями
Определим во множестве Ф всех линейных преобразований линейного пространства L над полем Р ряд естественных операций. Пусть , Ф.
Определение 7. Суммой линейных преобразований и называют преобразование, + задаваемое так: (+)(а)=(а)+(а) (для любого аL).
Утверждение 1. Сумма линейных преобразований линейного пространства L также является также линейным преобразованием L.
Доказательство. Для любых a, b L по определению 1 имеем: (+)(а+b)=(a+b)+(a+b)=(a)+(b)+(a)+(b)=(+)(a)+(+)(b) (при доказательстве мы использовали линейность и ).
Аналогично для любого вектора аL и числа P имеем:
(+)(a)=(a)+(a)=(a)+(a)=((a)+(a))=[(+)(a)].
Мы проверили свойства линейности для +. Значит (+)Ф.
Утверждение доказано.
Утверждение 2. Матрицей суммы линейных преобразований конечномерного линейного пространства в фиксированном базисе является сумма матриц слагаемых в том же базисе.
Доказательство. Пусть и в базисе е линейного пространства L имеют матрицы А и В. Тогда для любого вектора а из L имеем: [(a)]=A[a], [(a)]=B[a]. Так как (+)(а)=(а)+(а), то [(+)(a)]=[(a)]+[(a)]=А[а]+В[а]=(A+B)[а]. Из равенства [(+)(a)]=(A+B)[a] в силу замечания 4 к утверждению 1 из §2 данной главы, следует, что (+) имеет в базисе е матрицу A+B.
Утверждение доказано.
Утверждение 3. Операция сложения линейных преобразований в Ф ассоциативна и коммутативна.
Доказательство. Докажем ассоциативность. Пусть , и Ф. Тогда, для любого а из L имеем:
[(+) +](а) = (+)(а)+(а)= (а)+(а)+(а) = (а)+(+)(а) = [+(+)](а), т.е. справедливо равенство: [(+)+]а=[+(+)]а. Это означает равенство линейных преобразований
(+) + и +(+) (по определению равенства отображений).
Ассоциативность доказана.
Осталось доказать коммутативность. Для любых и из Ф выполняются равенства (+)(а)= (а)+(а) =(а)+(a)=(+)(a), откуда следует равенство +=+.
Коммутативность доказана.
Утверждение доказано.
Замечание 1. Очевидным является существование во множестве Ф нулевого элемента ((а)=0, аL), а также у каждого элемента – противоположному ему.
Утверждение 4. Множество Ф всех линейных преобразований линейного пространства L – это коммутативная группа по сложению.
Справедливость этого вытекает из доказанных выше утверждений 1–3 и замечания 1 к утверждению 3.
Определение 8. Произведением линейного преобразования на число Р называют отображение, определяемое так: ()(а)=((а)) для любого аL.
Утверждение 5. Произведение линейного преобразования на число является линейным преобразованием.
Доказательство. Это вытекает из соотношений, выполняющихся при любых a, b L, P:
()(a+b)=((a+b))=((a)+(b))=()(a)+()(b),
()(a)=[( a)]=((a))=()((a))= (()(a)).
Утверждение доказано.
Утверждение 6. При умножении линейного преобразования конечномерного линейного пространства на число его матрица умножается на это число.
Справедливость этого утверждения следует из равенств:
[(a)]=[(a)]= (A[a])= (A)[a] и замечания 4 к утверждению 1 из §2 этой главы.
Из утверждений 4 и 5 нетрудно получить, что Ф – линейное пространство над полем Р.
Определение 9. Произведением линейных преобразований и из Ф называют результат их последовательного применения, т.е. преобразование , действующее по правилу: ()(а)=((а)) для любого аL (преобразование, действующее первым, записывают справа).
Замечание 2. В определении 9 использована левая запись преобразований. Иногда используют правую запись: a()=(a). Тогда произведение и обозначают через .
Утверждение 7. Преобразование является линейным, т.е. принадлежит Ф.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соотношений (для любых a, b из L и любого P):
()(a+b)=((a+b))=(a+b)=()(a)+()(b),
()(a)=((a))=((a))=((a))=((a)).
Значит, Ф, т.е. умножение преобразований является алгебраической операцией в Ф.
Утверждение доказано.
Утверждение 8. Пусть в конечномерном линейном пространстве L выбран базис е. Если А и В – матрицы преобразований , Ф в базисе e, то матрицей в базисе e является матрица BA (матрица преобразования, действующего первым, записывается справа).
Доказательство. Из равенства ()(а)=((а)) вытекает: [(a)]=[((a))]= B[(a)]=ВА[а]. В силу замечания 4 к утверждению 1 из §2 имеет в базисе е матрицу ВА.
Утверждение доказано.
Замечание 3. При доказательстве утверждений о матрицах линейных преобразований +, , мы использовали метод, предложенный Г.С. Шевцовым в [5].