§ 3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства

Лемма 3. Если С и D – две матрицы n-го порядка над Р, e некоторый базис линейного пространства L над Р и еС=eD, то C=D.

Доказательство. Пусть

С = D =

Тогда из равенства eC=eD получаем:

e₁y_1i+…+e_ny_ni= e₁d_1i+…+e_nd_ni =b (1) (суммы, стоящие слева, мы обозначили через b). Тогда (1) – два выражения вектора b из L через базис е. Ввиду единственности координат вектора b в базисе е, из (1) получаем:

y_1i=d_1i, …, y_ni=d_ni для любого i. Следовательно, C=D.

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р,   линейное преобразование L, e и e` два базиса L. Если A и B – матрицы линейного преобразования , соответственно, в базисах e и e`, то В=Т^-1АТ, где Тматрица перехода от базиса е к базису е`.

Доказательство. Так как А и В – матрицы линейного преобразования  в базисах e и e`, то (е)=еА, (2)

(е`)=e`B. (3)

Обозначим через Т матрицу перехода от e к e`, т.е. справедливо равенство e`=eT. (4)

Подставим e` из (4) в (3): (eT)=(eT)B=e(TB) . (5)

Докажем, что (eT)= (e)T . (6)

i-й элемент матрицы (еТ) равен , так как  – линейное преобразование. Справа мы получили i-й элемент матрицы (е)Т. Этим доказано равенство (6).

В силу (6) (еТ)= (е)Т=(еА)Т=е(АТ) . (7)

Подставляя (7) в левую часть (5), получаем: е(АТ)=е(ТВ). Отсюда, в силу леммы 3, АТ=ТВ. Так как матрица Т невырожденная, то для нее существует обратная матрица Т^-1. Из последнего равенства имеем: В=Т^-1АТ.

Теорема доказана.

Определение 4. Две матрицы С и D, связанные равенством

С= Q^-1DQ (для некоторой невырожденной матрицы Q) называются подобными; говорят также, что С получается из D путем трансформирования матрицей Q (все матрицы – над одним полем Р).

Справедливо утверждение, обратное теореме 2.

Теорема 3. Любые две подобные матрицы А и В n-го порядка над полем Р задают одно и то же линейное преобразование произвольного n-мерного линейного пространства над Р.

Доказательство. По условию В= Q^-1АQ, где |Q|0. Рассмотрим произвольное n-мерное линейное пространство L над Р. Пусть е  некоторый базис L. В силу следствия теоремы 1, существует линейное преобразование  этого пространства, которое в базисе е имеет заданную матрицу А. Так как |Q|0, то e`=eQ является базисом L, и Q  матрица перехода от е к е`. По теореме 2 преобразование  в базисе е` имеет матрицу Q^-1AQ, а она по условию равна В.

Теорема доказана.

Понятие о нормальной форме Жордана

В силу теоремы 2 матрицы линейного преобразования конечномерного линейного пространства над полем Р в разных базисах подобны. Естественно возникает вопрос: нельзя ли среди всех подобных матриц выбрать «наиболее простую»? Этот вопрос решается положительно для поля С комплексных чисел.

О

пределение 5. Матрица вида

J₀= называется клеткой Жордана

(₀  некоторый элемент поля Р).

О

J₁ 0

.

.

.

0 J_s

пределение 6. Матрица вида

J=

,

по главной диагонали которой стоят клетки Жордана, называется матрицей Жордана.

Справедлива следующая

Теорема 4. Всякая матрица А с комплексными элементами подобна некоторой матрице Жордана с комплексными элементами (последняя называется нормальной формой Жордана матрицы А).

Доказательство этой и более общей теорем (для произвольного поля) требует изложения обширного материала и выходит за рамки данного пособия. Его можно найти, например, в [1].