§2. Линейные преобразования линейных пространств
Определение 2. Линейное отображение j: LL назовем линейным преобразованием L (т.е. линейное преобразование L – это линейное отображение L в себя).
Примеры линейных преобразований:
I. Линейными преобразованиями пространства R2 являются:
Проектирование на некоторую ось;
Преобразование растяжения ((a)=a aR2);
Поворот плоскости на некоторый угол;
Симметрия относительно оси, относительно точки;
II. Дифференцирование пространства многочленов P[x]
(f(x) f ´(x)).
Для описания линейных преобразований конечномерных линейных пространств удобно использовать матрицы.
Определение 3. Пусть j – линейное преобразование конечномерного линейного пространства L, е=(e1,…,en) – некоторый базис этого пространства. Матрица А, столбцы которой являются координатными столбцами векторов (е1),…,(еn) в базисе e, называется матрицей линейного преобразования j в базисе е.
Чтобы составить матрицу А линейного преобразования j в базисе е, нужно найти векторы (е1),…,(еn) и выразить каждый из них через базис е:
(e1)=11е1+…+n1еn
............................. (5)
(en)= 1nе1+…+nnеn.
Тогда
A=
.
Замечание 1. Если ввести обозначение (е)=((е1),…,(еn)), то равенства (5) перепишутся в виде: (е)=еА. Это матричная форма определения матрицы линейного преобразования.
Теорема 1. Пусть – линейное преобразование n-мерного линейного пространства L над Р, е=(e1,…en) – базис L, А – матрица преобразования в базисе e. Тогда отображение w: A – биекция множества F всех линейных преобразований пространства L на множество Mn(P) всех матриц n-го порядка с элементами из поля Р.
Доказательство. Из определения матрицы линейного преобразования видно, что в базисе е имеет единственную матрицу А. Потому w: A – отображение множества F в множество Mn(P). Далее, если АMn(P), то обозначим через c1,…,cn векторы из L, координатами которых в базисе е являются столбцы матрицы А. По лемме 2 существует такое линейное преобразование F, что (ei)=ci (i=1,…, n). Тогда А – матрица линейного преобразования в базисе е, т.е. w: A. Значит, w – сюръекция.
Осталось доказать, что w инъекция. Если , F и w()=w()=А, то (ei)=(ei) (i=1,…,n). По лемме 1 =. Этим доказано, что w биекция.
Теорема доказана.
Следствие. Любая матрица n-го порядка с элементами из поля Р является матрицей некоторого линейного преобразования произвольного n-мерного линейного пространства над Р (это утверждение доказано в ходе доказательства теоремы 1).
Замечание 2. Теорема 1 означает, что изучение линейных преобразований конечномерных линейных пространств и квадратных матриц над Р – это близкие задачи.
Координаты образа вектора при линейном преобразовании
Пусть
– линейное преобразование n-мерного
линейного пространства L
и е=(е1,…,en)
– некоторый базис L.
Решим следующую задачу: по координатному
столбцу [a]
вектора а из L
в базисе е найти координатный столбец
[(a)]
вектора (а)
в том же базисе. Из
,
учитывая то, что
– линейное преобразование, получаем:
[a]
(6), где (е)=((е1),…,(еn)).
Пусть А – матрица преобразования
в базисе е, т.е. (е)=еА.
Подставляя (е)
в равенство (6), получаем: (а)=(еA)[a]=e(A[a]).
Отсюда следует
Утверждение 1. [(а)]=A[a]. (7)
Поставленная выше задача решена.
Замечание 3. Равенство (7) легко запомнить: чтобы найти координатный столбец вектора (а), надо вместо в эту запись поставить его матрицу А, вместо вектора а – его координатный столбец [a] – все в базисе е – и получим А[a] координатный столбец (а) в базисе е.
Замечание 4. Из справедливости равенства (7) для некоторой матрицы А и любого вектора аL в базисе е нетрудно заключить, что А – матрица линейного преобразования в этом базисе. Для этого надо из равенства (7) найти столбцы [(е1)], …,[(en)]. Учитывая, что[e1]=[1, 0, …,0],…,[en]=[0,0,…,1], получим, что это столбцы матрицы А, а тогда, по определению матрицы линейного преобразования, матрица А и является матрицей в базисе е. Другими словами, справедливость равенства (7) для любого aL равносильна определению матрицы линейного преобразования .