§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений

Рассмотрим произвольную неоднородную систему линейных уравнений над полем Р:

a₁₁x₁+…+ a_1nx_n=b₁

……………… (I)

a_m1x₁+…+a_mnx_n=b_m.

По ней можно составить следующую однородную систему:

a₁₁x₁+…+a_1nx_n=0

……………… (II)

a_m1x₁+…+a_mnx_n=0 .

Определение 11. Однородная система (II) называется приведенной однородной системой для неоднородной системы (I).

Нетрудно доказать, что решения (I) и (II) связаны между собой следующим образом:

1) Пусть c=(₁,…,_n), g=(₁,…,_n) – два решения неоднородной системы (I). Тогда их разность (с–g) – решение приведенной однородной системы (II).

Доказательство. Так как c, g – решения системы (I), то справедливы тождества:

, (1)

. (2)

Далее, c–g=(₁-₁,…,_n-_n). Подставим (c–g) в левые части уравнений системы (II):

(мы использовали равенства (1) и (2)). Значит, (c-g) – решение системы II.

Свойство доказано.

2) Если с – решение неоднородной системы (I), h – решение приведенной однородной системы (II), тогда (c+h) – решение неоднородной системы (I).

Доказательство аналогично предыдущему.

3. Пусть М – множество всех решений приведенной однородной системы (II) и с – решение неоднородной системы (I). Тогда

с+М={c+h |hM} – все решения неоднородной системы (I).

Доказательство. В силу свойства 2) (c+h) является решением (I). Покажем теперь, что любое решение g системы (I) содержится в множестве с+М.

По свойству 1) (g-c)M, т.е. (g-c)=hM, откуда g=(h+c)(c+M).

Свойство доказано.

4) Пусть с – частное решение неоднородной системы (I), f₁,…,f_n-r – фундаментальная система решений приведенной однородной системы (II). Тогда f= c+С₁f₁+…+С_n-rf_n-r – общее решение неоднородной системы (I).

Справедливость этого утверждения следует из свойства 3 и того, что

М={c₁f₁+…+c_n-rf_n-r | c_iP}.

Свойство 4) показывает, что для нахождения общего решения неоднородной системы (I) достаточно найти одно частное решение этой системы и фундаментальную систему решений приведенной однородной системы (II).

Глава 10. Линейные преобразования линейных пространств § 1. Линейные отображения линейных пространств

Определение 1. Отображение  линейного пространства L в линейное простанство L` называется линейным отображением, если для любых a, bL (a+b)=(a)+(b) и P и аL (a)=(a).

Лемма 1. Пусть : LL` – линейное отображение конечномерного линейного пространства L в линейное пространство L`. Тогда образ любого вектора из L при отображении  однозначно определяется образами векторов некоторого базиса e₁,…,e_n (1) пространства L при этом отображении.

Доказательство. Пусть aL. Тогда a=₁е₁+…+_nе_n (2). Из определения линейного отображения  имеем: (a)=(₁e₁)+…+(_ne_n)=₁(e₁)+…+_n(e_n) (3). Из (3) видно, что если известны векторы (e₁),…,(e_n), то однозначно находится (a) (ибо координаты вектора а в базисе (1) единственны).

Лемма доказана.

Следствие. Если два линейных отображения  и  n-мерного линейного пространства L в L` над Р совпадают на некотором базисе (1) линейного пространства L, то =.

Доказательство. Пусть  и  – линейные отображения LL`, удовлетворяющие условию: (e_i)=(e_i) (i=1,2,..,n). Тогда в силу леммы 1 для любого аL имеем: (а)=(а), откуда = (по определению равенства отображений).

Следствие доказано.

Лемма 2. Пусть L – n-мерное линейное пространство с базисом (1); L<sup>`</sup> – любое линейное пространство над тем же полем Р и c<sub>1</sub>,…, c<sub>n</sub> – произвольные векторы, принадлежащие L`. Тогда существует линейное отображение : LL` такое, что (e_i)=с_i (4) для любого i=1,2..,n, причем такое отображение единственно.

Доказательство. Единственность вытекает из следствия леммы 1.

Докажем существование такого отображения. Так как (1)  базис, то для каждого справедливо равенство (2) при некоторых α_i  P. По определению полагаем: , т.е. в (2) все e_i заменили на c_i. Отметим, что ( )L` и  однозначно определяется вектором , т.е.  – отображение LL`. Докажем линейность .

Если P, то вектор , и по определению  имеем: .

Далее, если , то . Так как ,то по определению отображения  имеем: . Таким образом, (a+b)=(a)+(b) a, bL. Следовательно  – линейное отображение.

Осталось проверить справедливость равенства (4).

Так как e_i=0e₁+…+1e_i+…+0e_n, то по определению отображения : (e_i)=0c₁+…+1c_i+…+0c_n=c_i, т.е.  – искомое отображение.

Лемма доказана.

Замечание 1. Из леммы 2 видно, что для задания линейного отображения n-мерного линейного пространства L в L` достаточно задать n векторов из L`.