Размерность пространства решений однородной системы

Теорема 2. Пусть (II) – однородная система с n неизвестными ранга r над полем Р. Тогда, если r<n (19), то пространство М решений этой системы имеет размерность (n-r).

Доказательство. Пусть а=(₁,…,_r,_r+1,…,_n)М (20) – произвольное решение системы (II), x₁,…,x_r – основные неизвестные, x_r+1,…,x_n – свободные неизвестные. Рассмотрим следующее отображение : (₁,…,_r,_r+1,…,_n) (_r+1,…,_n), т.е. каждому решению системы (II) ставим в соответствие упорядоченный набор значений свободных неизвестных из этого решения. Очевидно   отображение множества М в линейное пространство P^(n-r) (: MP^(n-r)). Докажем, что  – изоморфизм.

1. Покажем, что  – инъекция.

Пусть существуют такие a, bM, что (a)= (b). (21)

Тогда, если а=(₁,…,_r,_r+1,…,_n) и b=(₁,…,_r,_r+1,…,_n), то в силу (21) _r+1=_r+1,…,_n=_n. (22)

Мы знаем, что если задать некоторые значения свободных неизвестных, то значения остальных неизвестных системы (II) находятся единственным образом (по теореме Крамера). Поэтому из (22) следует, что ₁=₁,…, _r=_r; следовательно, a=b. Значит  – инъекция.

2. То, что  – сюръекция очевидно, так как свободным неизвестным можно придавать любые значения из поля Р, т.е. (М) – все векторы из P^(n-r) и потому (М)=P^(n-r).

Итак  – биекция. Проверим теперь, что   изоморфизм.

3. Покажем, что ()=() Р.

Действительно, ()=(_r+1,…, _n)= (_r+1,…,_n)= ().

4. Покажем, что (a+b)=(a)+(b).

Так как a+b=(₁+₁,…, _r+1+_r+1,…,_n+_n), то по определению отображения  имеем: (a+b) = (_r+1+_r+1,…,_n+_n) = (_r+1,…,_n) + (_r+1,…,_n)= (a)+(b).

Из 1– 4 следует, что  – изоморфизм. Так как изоморфные конечномерные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то dimМ=dim P^(n-r)=n-r.

Теорема доказана.

Замечание 2. Если для однородной системы (II) r=n, то она имеет единственное нулевое решение, т.е.М=0.

Определение 9. Базис пространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы.

Следствие 1. Всякая фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными ранга r при r<n состоит из (n-r) решений.

Действительно, по теореме 2 пространство решений М этой системы имеет размерность n-r, а всякий базис (n-r)-мерного линейного пространства состоит из (n-r) векторов.

Следствие 2. Любая линейно независимая система решений

a₁,…,a_n-r однородной системы (II) ранга r c n неизвестными, состоящая из (n-r) решений, при r<n является фундаментальной системой решений системы (II).

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что в пространстве размерности (n-r) любая линейно независимая система из (n-r) векторов составляет базис.

Теорема 3. Пусть a₁,…,a_n-r (23) – фундаментальная система решений однородной системы (II), С₁,…,С_n-r – произвольные постоянные. Тогда С₁a₁+…+С_n-ra_n-r=f (24) – общее решение системы (II).

Доказательство. В силу свойства 3 решений однородной системы вектор f является решением системы (II). Решение f зависит от произвольных постоянных. Пусть (₁,…,_n)=c – любое решение системы (II). Так как по определению (23) – это базис пространства решений М однородной системы (II), то любое ее решение линейно выражается через (23). В частности, с=₁a₁+…+_n-ra_n-r (25) _jP. Сравнивая (24) и (25), мы видим, что решение с получается из f при С₁=₁,…,С_n-r=_n-r. Следовательно, f – общее решение системы (II).

Теорема доказана.

Замечание Из теоремы 3 вытекает, что для нахождения общего решения однородной системы при r<n достаточно найти (n-r) ее частных (линейно независимых) решений.