Общее решение

Отметим, что общее решение системы линейных уравнений можно получить методом Гаусса: выразить основные неизвестные через свободные. Другой способ получения общего решения вытекает из рассмотренного выше метода решения системы с помощью ранга матрицы. Для этого при решении системы (9) свободные неизвестные переносим в правые части уравнений системы и считаем их произвольными постоянными, т.е. полагаем

x_r+1=С₁,…, x_n=С_n-r. (17)

А далее по формулам Крамера выражаем основные неизвестные через свободные. Получим:

x₁=f₁(С₁,…,C_n-r),…, x_r=f_r(C₁,…,C_n-r). Отметим, что f₁,…,f_r — некоторые линейные функции от С₁,…, С_r. Тогда (f₁,…,f_r, C₁,…, C_n-r) (18) будет, очевидно, решением системы (1).

Это решение содержит произвольные постоянные и, как доказано выше в пункте 3, любое решение системы (1) можно получить при некотором выборе этих произвольных постоянных. Следовательно, (18) – общее решение системы (1).

Число решений совместной системы линейных уравнений

Пусть (1) – совместная система m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р. Из описанного выше способа решения таких систем вытекает ряд утверждений о числе решений совместной системы.

Основные критерии:

А) Нет свободных неизвестных – система имеет единственное решение (оно находится по теореме Крамера).

Б) Есть хотя бы одно свободное неизвестное – система имеет больше одного решения (так как свободным неизвестным можно придавать произвольные значения из поля Р).

Если поле Р бесконечное, то в случае Б) система имеет бесконечно много решений.

Другие критерии:

Из основных критериев получаем ряд следующих (ниже r – ранг системы (1), А – матрица этой системы, d=|A| – определитель системы при n = m):

1. r=n – система имеет единственное решение (так как нет свободных неизвестных);

2. r<n – система имеет более одного решения (так как есть свободные неизвестные);

3. n>m – система имеет более одного решения, так как в этом случае rm<n, т.е. r<n;

4. n=m, d=|A|0  система имеет единственное решение (по теореме Крамера);

5. n=m, d=0. Тогда базисный минор матрицы А имеет порядок, меньший n, т.е. r<n и система имеет больше одного решения.

Однородные системы и их пространства решений

Определение 8. Система линейных уравнений (1) называется однородной, если b₁=b₂=…=b_m=0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений имеет вид:

a₁₁x₁+…+a_1nx_n=0

……………… a_ijP. (II)

a_m1x₁+…+a_mnx_n=0

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение (0,…,0). Поэтому основным вопросом здесь является следующий: существует ли у такой системы хотя бы одно ненулевое решение?

Из приведенных выше критериев для однородной системы получаем:

Основные критерии:

А₀) Нет свободных неизвестных – только нулевое решение;

Б₀) Есть хотя бы одно свободное неизвестное – существует ненулевое решение;

Другие критерии:

1₀) r=n – только нулевое решение;

2₀) r<n – существует ненулевое решение;

3₀) m<n –существует ненулевое решение;

4₀) m=n, d0 – только нулевое решение;

5₀) m=n, d=0 – существует ненулевое решение.

Если задана однородная система (II) над полем Р, то любое решение этой системы можно рассматривать как n-мерный вектор-строку:

(₁,…,_n)=b, bP⁽ⁿ⁾, (_iP).

Докажем некоторые свойства решений однородной системы.

1. Если a=(₁,…,_n), b=(₁,…,_n) – два решения однородной системы (II), то вектор (a+b)=(₁+₁,…,_n+_n) также является решением системы (II).

Доказательство. Имеем: так как а и b – решения системы (II), то справедливы следующие равенства: . Сложив эти равенства, получим:

. Значит, a+b – тоже решение (II).

2. Пусть а=(₁,…,_n) – решение системы (II) и с – некоторое число или произвольное постоянное. Тогда са=(с₁,…,с_n) – тоже решение (II).

Доказательство. Имеем: .

Из первого и второго свойств вытекает:

3. Если a₁,…,a_s – некоторые решения системы (II), c₁,…,c_s – числа из Р или произвольные постоянные, то c₁a₁+…+c_sa_s – решение системы (II).

Из свойств 1 и 2 следует

Теорема 1. Множество М всех решений однородной системы (II) над полем Р является подпространством арифметического пространства Р⁽ⁿ⁾.

Доказательство. Действительно, MP⁽ⁿ⁾. Пусть a, bM: тогда (a+b)M  по первому свойству решений однородной системы.

Для любого Р и для любого аМ имеем: аМ – в силу свойства 2 решений однородной системы. Мы доказали замкнутость операций в М. Отсюда вытекает, что М – подпространство линейного пространства P⁽ⁿ⁾.

Теорема доказана.

Замечание 1. Легко видеть, что М=P⁽ⁿ⁾ тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица.