§ 7. Координаты вектора

Пусть L – конечномерное линейное пространство над полем Р и e₁,…,e_n (1) – некоторый базис L.

В дальнейшем базис всегда будем считать упорядоченным (т.е. если в нем поменять местами некоторые векторы, то получим уже другой базис).

Определение 11. Пусть аL. Выразим вектор а через базис (1), т.е. a=₁e₁+…+_ne_n (2), _iP (i=1,…,n). Столбец (₁,…,_n)^т (3) называется координатным столбцом вектора а в базисе (1).

Координатный столбец вектора а в базисе е обозначается также через [a], [a]_e или [₁,..,_n].

Как и в аналитической геометрии, доказывается единственность выражения вектора через базис, т.е. единственность координатного столбца вектора в данном базисе.

Замечание 1. В некоторых учебниках вместо координатных столбцов рассматривают координатные строки (например, в книге [1]). В таком случае получаемые там формулы на языке координатных столбцов выглядят иначе.

Теорема 4. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р и (1) – некоторый базис L. Рассмотрим отображение : a  (₁,…,_n)^т, ставящее в соответствие любому вектору а из L его координатный столбец в базисе (1). Тогда  – изоморфизм пространств L и P⁽ⁿ⁾ (P⁽ⁿ⁾ – n-мерное арифметическое пространство векторов-столбцов).

Доказательство. Отображение  однозначно в силу единственности координат вектора. Легко проверяется, что  – биекция и (a)=(a), (a)+(b)=(a+b). Значит   изоморфизм.

Теорема доказана.

Следствие 1. Система векторов a₁,a₂,…,a_s конечномерного линейного пространства L тогда и только тогда линейно зависима, когда линейно зависима система, состоящая из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе пространства L.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 1 и второго и четвертого свойств изоморфизма.

Замечание 2. Следствие 1 позволяет изучение вопроса о линейной зависимости систем векторов в конечномерном линейном пространстве свести к решению такого же вопроса для столбцов некоторой матрицы.

Теорема 5 (критерий изоморфизма конечномерных линейных пространств). Два конечномерных линейных пространства L и L` над одним полем P тогда и только тогда изоморфны, когда имеют одну и ту же размерность.

Необходимость. Пусть LL` В силу утверждения 2 из §6 размерность L совпадает с размерностью L₁.

Достаточность. Пусть dim L = dim L`= n. Тогда в силу теоремы 4 имеем: LP<sup>(n)</sup> и L`P⁽ⁿ⁾. Отсюда нетрудно получить, что LL`.

Теорема доказана.

Примечание. В дальнейшем через L_n мы часто будет обозначать n-мерное линейное пространство.

§ 8. Матрица перехода

Определение 12. Пусть в линейном пространстве L_n заданы два базиса:

е= (е₁, … е_n) и e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`_n) (старый и новый).

Разложим векторы базиса е` по базису е:

e`₁=t₁₁e₁+…+t_n1e_n

………………….. (1)

e`_n=t_1ne₁+…+t_nne_n.

М атрицу

Т=

называют матрицей перехода от базиса е к базису е`.

Отметим, что равенства (1) в матричном виде удобно записать так: е`=еТ (2). Это равенство равносильно определению матрицы перехода.

Замечание 1. Сформулируем правило построения матрицы перехода: для построения матрицы перехода от базиса е к базису е` нужно для всех векторов e<sub>j</sub>` нового базиса e` найти их координатные столбцы в старом базисе е и записать их в качестве соответствующих столбцов матрицы Т.

Замечание 2. В книге [1] матрица перехода составляется по строкам (из координатных строк векторов нового базиса в старом).

Теорема 6. Матрица перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства L_n над полем P к другому его базису является невырожденной матрицей n-го порядка с элементами из поля Р.

Доказательство. Пусть Т  матрица перехода от базиса е к базису e`. Столбцы матрицы Т по определению 12  это координатные столбцы векторов базиса е` в базисе е. Так как е`  линейно независимая система, то по следствию 1 теоремы 4 столбцы матрицы Т линейно независимы, и потому |T|≠0.

Теорема доказана.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 7. Любая невырожденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства L_n над полем Р к некоторому другому базису L_n.

Д оказательство. Пусть даны базис е=(е₁, …, е_n) линейного пространства L и невырожденная квадратная матрица

t₁₁………t_1n

……………

t_n1………t_nn

Т=

n-го порядка с элементами из поля Р. В линейном пространстве L_n рассмотрим упорядоченную систему векторов e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`_n), для которых столбцы матрицы Т являются координатными столбцами в базисе е.

Система векторов е` состоит из n векторов и является в силу следствия 1 теоремы 4 линейно независимой, так как у невырожденной матрицы Т столбцы линейно независимы. Поэтому эта система – базис линейного пространства L<sub>n</sub>, причем в силу выбора векторов системы e` выполняется равенство e`=eT. Это означает, что Т– матрица перехода от базиса е к базису e`.

Теорема доказана.