- •Я. Д. Половицкий алгебра
- •Введение
- •Основные обозначения
- •Часть 1 Глава 1. Комплексные числа §1. Система комплексных чисел
- •§2. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •§4. Сопряженные числа
- •Свойства сопряженных чисел
- •§5. Возведение комплексных чисел в степень
- •§6. Извлечение корня из комплексного числа
- •§7. Решение квадратных уравнений
- •Квадратные уравнения с действительными
- •Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
- •§8. Корни из единицы
- •Свойства
- •Первообразные
- •Глава 2. Отображения множеств §1. Основные определения
- •§2. Умножение отображений
- •Правая запись.
- •Свойства умножения отображений
- •§3. Преобразования множеств
- •Глава 3. Перестановки и подстановки §1. Перестановки из n чисел
- •§2. Подстановки n-й степени
- •Глава 4. Определители n-го порядка §1. Определение определителя
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Вычисление определителей
- •§4. Еще одно свойство определителей
- •Глава 5. Матрицы §1. Простые и двойные суммы
- •Свойства простых сумм
- •Двойные суммы
- •Свойства двойных сумм
- •§2. Линейные преобразования неизвестных
- •§3. Умножение матриц
- •§4. Обратная матрица
- •Единственность единичной и обратной матриц
- •§5. Решение матричных уравнений
- •Матричное доказательство теоремы Крамера
- •Глава 6. Основные алгебраические структуры §1. Алгебраическая операция
- •§2. Группы
- •§3. Кольца
- •Некоторые следствия из аксиом кольца
- •Делители нуля
- •§4. Поля
- •Некоторые следствия из аксиом поля
- •§5. Подполя и расширения полей
- •§6. Изоморфизм колец (полей)
- •§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений
- •§8. Определители и матрицы над произвольным полем
- •Глава 7. Многочлены и их корни §1.Кольцо многочленов
- •§2. Деление с остатком
- •§3 Делители. Свойства делимости многочленов
- •Свойства делимости многочленов
- •§4.Наибольший общий делитель
- •Следствие из алгоритма Евклида
- •Свойства взаимно простых многочленов
- •§5.Корни многочленов
- •Метод Горнера
- •Кратные корни
- •§6.Число корней многочлена в произвольном поле
- •Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем
- •Поле разложения многочлена
- •§7.Формулы Виета
- •§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •Следствия из основной теоремы
- •Отделение кратных корней
- •§9.Многочлены с действительными коэффициентами
- •§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями c и r
- •Неприводимые многочлены над полем c
- •Неприводимые многочлены над полем r
- •Глава 8. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства
- •Основные примеры линейных пространств
- •§ 2. Линейная зависимость векторов
- •§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы
- •§ 4. Основная теорема о линейной зависимости. Ее следствия
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости
- •§ 5. Конечномерные линейные пространства
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств
- •§ 6. Изоморфизм линейных пространств
- •§ 7. Координаты вектора
- •§ 8. Матрица перехода
- •Связь координат вектора а в разных базисах
- •§ 9. Подпространства линейного пространства
- •Глава 9. Ранг матрицы и системы линейных уравнений § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
- •Следствия из теоремы о базисном миноре
- •Применение ранга матрицы для решения вопросов о линейной зависимости в пространстве p(n)
- •Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве
- •§ 2. Системы линейных уравнений
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Обоснование практического способа решения систем линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •Общее решение
- •Число решений совместной системы линейных уравнений
- •Однородные системы и их пространства решений
- •Размерность пространства решений однородной системы
- •§ 3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений
- •§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- •Глава 10. Линейные преобразования линейных пространств § 1. Линейные отображения линейных пространств
- •§2. Линейные преобразования линейных пространств
- •Координаты образа вектора при линейном преобразовании
- •§ 3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства
- •Понятие о нормальной форме Жордана
- •§4. Операции над линейными преобразованиями
- •§ 5. Ядро и область значений линейного преобразования
- •Невырожденные линейные преобразования
- •§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •§ 7. Линейные преобразования с простым спектром
- •Часть 2 глава 1. Числовые функции на линейных пространствах
- •§1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Квадратичные формы
- •Переход к новому базису
- •§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Комплексный нормальный вид
- •Действительный нормальный вид
- •§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
- •Положительно определенные квадратичные формы
- •Глава 2. Евклидовы пространства §1. Скалярное произведение
- •§2. Ортогональные системы векторов
- •§3. Длина вектора. Угол между векторами
- •Корректность определения угла вытекает из неравенств , равносильных неравенству Коши – Буняковского: .
- •§4. Ортонормированные базисы
- •§5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •§6. Ортогональные дополнения подпространств
- •§7. Унитарные пространства
- •Глава 3. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств §1. Ортогональные матрицы
- •Свойства ортогональных матриц
- •§2. Сопряженные линейные преобразования
- •§3. Ортогональные преобразования
- •§4. Симметрические преобразования
- •§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях
- •§6. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •Практическое приведение к главным осям
- •Практическое нахождение сон-базиса
- •Глава 4. Аффинные пространства и аффинные преобразования §1. Определение аффинного пространства
- •§2. Система координат в аффинном пространстве
- •§3. Плоскости в аффинных пространствах
- •§4. Аффинные преобразования
- •§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии
- •Группы и геометрии
- •Глава 5. Квадрики §1. Квадрики в аффинных пространствах
- •§2. Метрическая классификация квадрик
- •§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду
- •Глава 6. Многочлены от нескольких неизвестных §1. Кольцо многочленов от n неизвестных
- •§2. Симметрические многочлены
- •§3. Однородные симметрические многочлены
- •§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Половицкий Яков Давидович Алгебра
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
§ 6. Изоморфизм линейных пространств
Определение 10. Два линейных пространства L и L`над одним полем Р называются изоморфными, если существует биекция : LL`, удовлетворяющая следующим условиям:
1. (a+b)=(a)+(b) a, bL,
2. (a)=(a) P, aL.
Само такое отображение называется изоморфизмом или изоморфным отображением.
Свойства изоморфизмов.
1. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой.
Доказательство. Пусть aL и : LL` – изоморфизм. Так как a=a+0, то (a)=(a+0)=(a)+(0). (1)
Т.к. (L)=L` то из последнего равенства видно, что (0) (обозначим его через 0`) – это нулевой вектор из L`.
2. При изоморфизме линейно зависимая система переходит в линейно зависимую систему.
Доказательство. Пусть a1, a2,…,as (2) – некоторая линейно зависимая система из L. Тогда существует ненулевой набор чисел 1,…,s (3) из Р, что 1a1+…+sas=0. Подвергнем обе части этого равенства изоморфному отображению . Учитывая определение изоморфизма, получим:
1(a1)+…+s(as)=(0)=0` (мы использовали свойство 1). Т.к. набор (3) ненулевой, то из последнего равенства следует, что (1),…,(s) – линейно зависимая система.
3. Если : LL` изоморфизм, то -1: L`L – тоже изоморфизм.
Доказательство. Так как – биекция, то существует биекция -1: L`L. Требуется доказать, что если a`, b` L`, то
-1(a`+b`)=-1(a`)+-1(b`). (4)
Так как – биекция, то a`=(a), b`=(b), для некоторых a, bL.
Имеем: -1(a`+b`)=-1((a)+(b)). (5)
Так как — изоморфизм, то a`+b`=(a)+(b) =(a+b). Отсюда следует:
a+b=-1((a+b))=-1((a)+(b)). (6)
Из (5) и (6) имеем -1(a`+b`)=a+b=-1(a`)+-1(b`).
Аналогично проверяется, что -1(a`)=-1(a`).
Итак, -1 – изоморфизм.
Свойство доказано.
4. При изоморфизме линейно независимая система переходит в линейно независимую систему.
Доказательство. Пусть : LL` изоморфизм и a1, a2,…,as (2) – линейно независимая система. Требуется доказать, что (a1), (a2),…,(as) (7) также линейно независима.
Предположим, что (7) линейно зависима. Тогда при отображении -1 она переходит в систему a1, …,as.
По свойству 3 -1 – изоморфизм, а тогда по свойству 2 система (2) будет также линейно зависимой, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно.
Свойство доказано.
5. При изоморфизме базис любой системы векторов переходит в базис системы ее образов.
Доказательство. Пусть a1, a2,…,as,… (8) – конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L, : LL` – изоморфизм. Пусть система (8) имеет базис ai1, …,air (9). Покажем, что система (a1),…,(aк),… (10) имеет базис (ai1), …,(air) (11).
Так как (9) линейно независима, то по свойству 4 система (11) линейно независима. Припишем к (11) любой вектор из (10); получим: (ai1), …,(air), (aj) (12). Рассмотрим систему ai1, …,air, aj (13). Она линейно зависима, так как (9) – базис системы (8). Но (13) при изоморфизме переходит в (12). Так как (13) линейно зависима, то по свойству 2 система (12) тоже линейно зависима. Значит, (11) есть базис системы (10).
Применяя свойство 5 ко всему конечномерному линейному пространству L, получим
Утверждение 1. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем P, : LL` изоморфизм. Тогда L` – также конечномерное пространство и dim L`= dim L = n.
В частности, справедливо
Утверждение 2. Если конечномерные линейные пространства изоморфны, то их размерности равны.
Замечание. В §7 будет установлена справедливость и обратного к этому утверждения.