Следствия из основной теоремы о линейной зависимости

Следствие 1. Две конечные эквивалентные линейно независимые системы векторов состоят из одинакового числа векторов.

Доказательство. Пусть системы векторов (1) и (2) эквивалентны и линейно независимы.

Для доказательства применим два раза основную теорему.

Т.к. система (2) линейно независима и линейно выражается через (1), то по основной теореме ls (11).

С другой стороны, (1) линейно независима и линейно выражается через (2), и по основной теореме s l (12).

Из (11) и (12) следует, что s=l.

Утверждение доказано.

Следствие 2. Если в некоторой системе векторов a₁,…,a_s,… (13) (конечной или бесконечной) существует два базиса, то они состоят из одинакового количества векторов.

Доказательство. Пусть a_i1,…,a_il (14) и a_j1,..a_jk (15) – базисы системы (13). Покажем, что они эквивалентны.

По теореме 3 каждый вектор системы (13) линейно выражается через ее базис (15), в частности, любой вектор системы (14) линейно выражается через систему (15). Аналогично система (15) линейно выражается через (14). Значит, системы (14) и (15) эквивалентны и по следствию 1 имеем: l=k.

Утверждение доказано.

Определение 6. Число векторов в произвольном базисе конечной (бесконечной) системы векторов называют рангом этой системы (если базисов нет, то ранга системы не существует).

В силу следствия 2, если система (13) имеет хотя бы один базис, ее ранг единственен.

Замечание 2. Если система состоит только из нулевых векторов, то полагаем, что ее ранг равен 0.

Пользуясь понятием ранга, можно усилить основную теорему.

Следствие 3. Даны две конечные системы векторов (1) и (2), причем (1) линейно выражается через (2). Тогда ранг системы (1) не превосходит ранга системы (2).

Доказательство. Обозначим ранг системы (1) через r₁, ранг системы (2) — через r₂.

Если r₁=0, то утверждение верно.

Пусть r₁0. Тогда и r₂0, т.к. (1) линейно выражается через (2). Значит, в системах (1) и (2) существуют базисы.

Пусть a₁,…,a_r1 (16) – базис системы (1) и b₁,…,b_r2 (17) – базис системы (2). Они линейно независимы по определению базиса.

Далее, (16) линейно выражается через (1), как часть системы (1). Система (1) линейно выражается через (2), а (2) линейно выражается через свой базис (17). Значит, (16) линейно выражается через (17).

Т.к. (16) линейно независима, то к паре систем (16), (17) можно применить основную теорему. По этой теореме r₁r₂.

Утверждение доказано.

Следствие 4. Две конечные эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

Для доказательства этого утверждения надо два раза применить следствие 3.

Замечание 3. Отметим, что ранг линейно независимой системы векторов равен числу ее векторов (ибо в линейно независимой системе ее единственный базис совпадает с самой системой). Поэтому следствие 1— это частный случай следствия 4. Но без доказательства этого частного случая мы не смогли бы доказать следствие 2, ввести понятие ранга системы векторов и получить следствие 4.

§ 5. Конечномерные линейные пространства

Определение 7. Линейное пространство L над полем P называется конечномерным, если в L существует хотя бы один базис.

Основные примеры конечномерных линейных пространств:

1. Векторы-отрезки на прямой, плоскости и в пространстве

(линейные пространства R₁, R₂, R₃).

2. n-мерное арифметическое пространство P⁽ⁿ⁾. Покажем, что в P⁽ⁿ⁾ существует следующий базис:

e ₁=(1,0,…,0)

e₂=(0,1,…,0) (1)

……….

e_n=(0,0,…1).

Докажем сначала, что (1) – линейно независимая система.

Составим уравнение x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n=0 (2).

Используя вид векторов (1), уравнение (2) перепишем так:

x₁(1,0,…,0)+x₂(0,1,…,0)+…+x_n(0,0,…,1)=(x₁, x₂, …,x_n)=(0,0,…,0).

По определению равенства векторов-строк отсюда следует:

x₁=0, x₂=0,…, x_n=0 (3). Следовательно, (1) – линейно независимая система.

Докажем, что (1) – базис пространства P⁽ⁿ⁾, пользуясь теоремой 3 о базисах.

Для любого a=(α₁,α₂,…,α_n)P_n имеем:

а=(α₁,α₂,…,α_n)=(α₁,0,…,0)+(0,α₂,…,0)+(0,0,…,α_n)=₁e₁+₂e₂+…+_ne_n.

Значит, любой вектор пространства P⁽ⁿ⁾ линейно выражается через (1). Следовательно,(1) – базис пространства P⁽ⁿ⁾, и потому P⁽ⁿ⁾ – конечномерное линейное пространство.

3. Линейное пространство P_n[x]={α₀xⁿ+...+α_n | α_iP}.

Нетрудно проверить, что базисом пространства P_n[x] является система многочленов 1,x,…,xⁿ. Значит, P_n [x] – конечномерное линейное пространство.

4. Линейное пространство M_n(P). Можно проверить, что множество матриц вида E_ij, в которых единственный ненулевой элемент 1 стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца (i,j=1,…,n), составляют базис M_n(P).