§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы

Определение 3. Пусть a₁, a₂,…,a_k,…. (1) – конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L. Ее конечная подсистема a_i1, a_i2, …, a_ir (2) называется базисом системы (1) или максимальной линейно независимой подсистемой этой системы, если выполняются следующие два условия:

1. подсистема (2) линейно независима;

2. если к подсистеме (2) приписать любой вектор а_j системы (1), то получаем линейно зависимую систему a_i1, a_i2, …, a_ir, a_j (3).

Пример 1. В пространстве Р_n[x] рассмотрим систему многочленов 1,x¹, …, xⁿ (4). Докажем, что (4) линейно независима. Пусть α₀, α₁,…, α_n – такие числа из Р, что α₀1+α₁x+...+α_nxⁿ=0. Тогда по определению равенства многочленов α₀=α₁=…=α_n=0. Значит, система многочленов (4) линейно независима.

Докажем теперь, что система (4) – базис линейного пространства P_n[x].

Для любого f(x)P_n[x] имеем: f(x)=β₀xⁿ+…+β_n1P_n[x]; следовательно, f(x) является линейной комбинацией векторов (4); тогда система 1,x¹, …, xⁿ,f(x) линейно зависима (по определению I). Таким образом, (4) – базис линейного пространства P_n[x].

Пример 2. На рис. 1 a₁, a₃ и a₂, a₃ – базисы системы векторов a₁,a₂,a₃.

Теорема 3. Подсистема (2) a_i1,…, a_ir конечной или бесконечной системы (1) a₁, a₂,…,a_s,… является максимальной линейно независимой подсистемой (базисом) системы (1) тогда и только тогда, когда

а) (2) линейно независима;

б) любой вектор из (1) линейно выражается через (2).

Необходимость. Пусть (2) – максимальная линейно независимая подсистема системы (1). Тогда выполняются два условия из определения 3:

1) (2) линейно независима.

2) Для любого вектора a_j из (1) система a_i1,…, a_is,a_j (5) линейно зависима.

Надо доказать, что выполняются утверждения а) и б).

Условие а) совпадает с 1); следовательно, а) выполняется.

Далее, в силу 2) существует ненулевой набор α₁,...,α_r,βP (6) такой, что α₁a_i1+…+α_ra_ir+βa_j=0 (7). Докажем, что β0 (8). Предположим, что β=0 (9). Тогда из (7) получаем: α₁a_i1+…+α_ra_ir=0 (10). Из того, что набор (6) ненулевой, а β=0 следует, что α₁,...,α_r  ненулевой набор. А тогда из (10) вытекает, что (2) линейно зависима, что противоречит условию а). Этим доказано (8).

Прибавив к обеим частям равенств (7) вектор (-βa_j), получим: -βa_j= α₁a_i1+…+α_ra_ir. Так как β0, то существует β^-1Р; умножим обе части последнего равенства на β^-1: (β^-1α₁)a_i1+…+ (β^-1α_r)a_ir=a_j. Введем обозначения: (β^-1α₁)=₁,…, (β^-1α_r)=_r; таким образом, мы получили: ₁a_i1+…+ _r a_ir=a_j; следовательно, доказана выполнимость условия б).

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполняются условия а) и б) из теоремы 3. Нужно доказать, что выполняются условия 1) и 2) из определения 3.

Так как условие а) совпадает с условием 1), то 1) выполняется.

Докажем, что выполняется 2). По условию б), любой вектор a_j(1) линейно выражается через (2). Следовательно, (5) линейно зависима (по определению 1), т.е. 2) выполняется.

Теорема доказана.

Замечание. Не в любом линейном пространстве существует базис. Например, нет базиса в пространстве Р[x] (в противном случае, степени всех многочленов из Р[x] были бы, как следует из пункта б) теоремы 3, ограничены в совокупности).