§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями c и r

Ниже мы введем понятие многочленов, играющих в теории многочленов ту же роль, что простые числа играют в теории целых чисел.

Простое число нельзя разложить в произведение двух множителей, меньших по модулю. Аналогично определяются неприводимые многочлены, только вместо модулей рассматриваются степени многочленов.

Определение 1. Многочлен (где P – произвольное поле) называют приводимым над полем P, если он представим в виде (1), где , (2), причем , . В противном случае называется неприводимым над полем P.

Из определения видно, что элементы поля P мы не относим ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам (аналогично числа – ни простые, ни составные).

Замечание 1. Другими словами, многочлен , не содержащийся в поле P, называется неприводимым над P, если в любом его разложении вида (1) с условием (2) степень хотя бы одного из множителей – нулевая (а степень второго равна степени ). Неприводимый многочлен над P нельзя разложить в произведение двух множителей из степеней, меньших, чем степень .

Пример. Многочлен над полем R неприводим, а над С – приводим, ибо , где .

Замечание 2. Если многочлен приводим над P, то при расширении поля P, он, очевидно, остается приводимым.

С другой стороны, как показывает приведенный выше пример, неприводимый многочлен над P при расширении поля до может стать приводимым над .

Лемма 1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Доказательство. Пусть и .

Предположим, что приводим над ; тогда , где , . Отсюда следует, что , и , .

В последнем равенстве слева стоит многочлен первой степени, а справа – нулевой степени. Такое равенство невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму.

Найдем все неприводимые многочлены над полями C и R.

Неприводимые многочлены над полем c

Теорема 8. Неприводимыми многочленами над полем C является все многочлены первой степени, и только они.

Доказательство.

1. Если , то по лемме 1 неприводим над C.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть и неприводим над полем C.

По определению 1 ; тогда по основной теореме алгебры комплексных чисел имеет корень , то есть (3) и , .

Так как неприводим над C, то из (3) следует, что , то есть и . Значит, .

Теорема доказана.

Следствие. Каноническое разложение многочлена над полем C , где при – это представление многочлена в виде произведения степеней различных неприводимых над C многочленов (с точностью до ).

Это разложение аналогично каноническому разложению целого числа: , где – различные простые числа.

Неприводимые многочлены над полем r

Теорема 9. Неприводимыми многочленами над полем R являются:

1. все многочлены первой степени;

2. все многочлены второй степени, имеющие пару сопряженных недействительных корней,

и только перечисленные в пунктах 1 и 2 многочлены.

Доказательство.

1. Сначала докажем, что многочлены типов 1 и 2 неприводимы

над полем R.

1. Многочлены первой степени неприводимы над R по лемме 1.

2. Пусть , где . Он неприводим над R, потому что не имеет действительных корней.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть и

неприводим над R.

Возможны два случая:

а) Существует , что . Тогда

(4), где .

По определению неприводимого многочлена из (4) следует, что , то есть и – многочлен первой степени.

б) не имеет действительных корней. Так как , то он имеет комплексный корень с.

По теореме 7 из §9 этой главы , где . Тогда , и потому  (5), где , ибо , .

Так как , то из (5) следует, что .

Но неприводим над R, и потому из (5) получаем, что , то есть . Итак, – многочлен второй степени типа 2.

Теорема доказана.

Следствие. Каноническое разложение многочлена над полем R – это

представление (с точностью до множителя ) в виде произведение степеней различных неприводимых над R многочленов степеней 2 и 1.