§6.Число корней многочлена в произвольном поле

Естественно поставить вопрос: сколько разных корней в поле P или его расширениях может иметь многочлен?

Ответ даст следующая

Теорема 1. Пусть f(x)P[x] и deg f(x)=n. Если c₁,c₂,…c_s – различные корни f(x) в некотором и k_i – кратность c_i, то

k₁+k₂+…+k_s  n. (1 )

Доказательство. По условию делят f(x). Так как они попарно взаимно простые, (ибо c_ic_j при ij), то по третьему свойству взаимно простых многочленов получаем

, где .

Так как левая часть равенства имеет степень n, то из этого равенства вытекает (1).

Теорема доказана.

Следствие. Число корней многочлена f(x)P[x]\0 степени n в любом расширении поля , рассматриваемых вместе с их кратностями, не превосходит n.

Замечание 1. Многочлен f(x)=0 – единственный многочлен, имеющий бесконечно много корней (если P – бесконечное поле).

Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем

Теорема 2. Пусть f(x) , g(x)P[x] и степени f(x) и g(x) не превосходят n. Если значения многочленов f(x) и g(x) совпадают для (n+1) чисел c₁,c₂,..,c_n+1 из P или любого его расширения , т.е.

f(c_i)=g(c_i), (2)

i=1,...,n+1 , то f(x)=g(x).

Доказательство. Рассмотрим многочлен h(x) = f(x) – g(x). Докажем, что h(x)0.

Если h(x)≠0 то, в силу условия теоремы deg h(x)  n. Далее, h(c_i)=f(c_i)-g(c_i) ; в силу (2) h(c_i)=0, т.е. h(x) имеет не менее (n+1) корней, а его степень меньше n+1. Получили противоречие со следствием теоремы 1. Значит, h(x)=0, т.е. f(x)=g(x).

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть f(x), g(x)P[x], где P – бесконечное поле и

f(c) = g(c) (3), для любого cP. Тогда f(x) = g(x).

Доказательство. Если f(x)=0, то из (3) следует, что g(c) = 0 для любого cP. Так как P – бесконечное поле, то g(x) имеет бесконечно много корней. Как отмечено в замечании 1, тогда g(x)=0, т.е.

f(x) = g(x).

Пусть теперь f(x)0 и g(x)0.

Введем обозначение: n = max[ deg f(x); deg g(x) ].

Из равенства (3) и бесконечности поля P следует, что существует (n+1) различных чисел c₁,…,c_n+1 из P таких, что f(c_i)=g(c_i) (i=1,…,n). По теореме 2 тогда f(x) = g(x). Теорема доказана.

Следствие. Над бесконечным полем понятие равенства многочленов как функций и как формальных выражений равносильны.

Как отмечалось ранее (в §1 гл.7), над конечным полем эти два понятия равенства не равносильны.

Поле разложения многочлена

В теории многочленов важную роль играет следующая

Теорема существования корня. Для любого многочлена f(x)P[x]\P существует такое расширение S поля P, в котором f(x) имеет хотя бы один корень.

Эту теорему мы приводим без доказательства. Ее доказательство можно найти в [1]. Мы докажем ее важные следствия.

Следствие 1. Всякий многочлен ненулевой степени n из P[x] в некотором расширении S поля P имеет ровно n корней (каждый корень считается столько раз, какова его кратность).

Доказательство.По основной теореме  P₁P, что в P₁ многочлен f(x) имеет хотя бы один корень, т.е.  с₁P₁, что f(c₁) = 0 .

Тогда f(x)=(x-c₁)f₁(x) , где f₁(x)P₁[x]. Если f₁(x)=aP₁ , то S=P₁.

Если же deg f₁(x)0 , то  P₂P₁, в котором f₁(x) имеет корень c₂ ,т.е.  с₂P₂, что f₁(c₂) = 0. Тогда f(x)=(x-c₁)(x-c₂)f₂(x), где f₂(x)P₂[x]. и т.д.

Через конечное число шагов над полем S получим:

f(x)=(x-c₁)(x-c₂)…(x-c_n)a_{0 .} (4)

Значит, f(x) имеет в некотором расширении поля P n корней.

Следствие доказано.

Определение 1. Расширение S поля P, в котором многочлен f(x)P[x] степени n имеет все n корней (с учетом кратностей) называют полем разложения этого многочлена.

Из следствия 1 получаем

Следствие 2. Для любого f(x)P[x]\P существует поле разложения.

Доказательство. Если в разложении (4) над полем S собрать все одинаковые множители, получим

, (5)

где все с_i различны и k_i - кратность корня с_i ( ).

Далее , если cc_i , то

,т.е. с₁,c₂,…,c_s – все различные корни f(x). Так как k₁+…k_s=deg f(x), то в силу следствия теоремы 1 S – поле разложения f(x).

Следствие доказано.

Так как больше, чем n корней, многочлен f(x) n-ой степени иметь не может (в силу следствия теоремы 1), то из (4) получаем:

Следствие 3. Разложение (4) для многочлена f(x) над любым его полем разложения единственно (с точностью до обозначений).

Из следствий 2 и 3 вытекает

Теорема 4. Всякий многочлен f(x)P[x]\P над полем разложения представим в виде (5), где с_ic_j при ij и k_i – кратность корня с_i; это представление единственно (с точностью до порядка сомножителей).

Определение 2. Разложение (5) называется каноническим разложением f(x).

Мы показали, что такое разложение имеет место над полем разложения.

Замечание 2. Аналогичное (5) каноническое разложение целого числа имеет вид:

z=(1) , где p_i – различные простые числа (i=1,…,s).