Кратные корни

Если с — корень многочлена f(x), т. е. f(с)=0, то f(x) делится, как мы знаем, на х-с. Может оказаться, что многочлен f(х) делится не только на первую степень линейного двучлена х-с, но и на более высокие его степени. Во всяком случае найдется такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на (х-с)^k, но не делится на (х-c)^k+1. Поэтому

f(x) = (х - с)^kg(x), где многочлен g(х) на (х – с) уже не делится, т. е. число с своим корнем не имеет. Число k называется кратностью корня с много­члена f(x), а сам корень с — k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то говорят, что корень с — простой.

Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Мы изучаем многочлены с коэффициентами из любого поля и поэтому не можем просто восполь­зоваться понятием производной, введенным в курсе математического анализа.

Определение 3. Пусть дан многочлен n-й степени из P[x]:

f(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+…+ a_n-1x¹ +a_n, a₀≠0.

Его производной (или первой производной) называется многочлен

f ^/(x) = na₀x^n-1 +(n-1)a₁x^n-2+…+ a_n-1.

Нетрудно видеть, что если f(x)P[x] ,то и f^/(x)P[x].

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой производной называется вто­рой производной от многочлена f(x) и обозначается через f ^//(x) и т. д. Очевидно, что f⁽ⁿ⁾(x) = n!a₀ и поэтому f^[n+1] (х) = 0, т. е. (n+1)-я производная от многочлена n-й степени равна нулю.

Замечание 2. Производная многочлена n-ой степени (n>0) не обязательно будет многочленом (n-1)-ой степени. Так, если P – поле характеристики 2, то (x²+1)=2x=(1+1)x=0. Но если P – поле характеристики нуль, то при a₀0 число na₀0 при любом n, и потому при n1 производная многочлена n-ой степени под таким полем имеет степень (n-1).

Теорема 2. Пусть P – поле характеристики нуль. Если число с является k-кратным корнем многочлена f(x)P[x], то при k>1 оно будет (k - 1) кратным корнем первой произ­водной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f^/(х).

Доказательство. В самом деле, пусть

f(x)= (х - с)^kg(x), (5)

где g(x) уже не делится на (х – с). Дифференцируя равенство (5), получаем:

f'(x) = k(x - с)^k-1 g(x) + (x - с)^k g^/(x) , откуда f'(x) = (x - с)^k-1 [kg(x) + (x-c)g^/(x)].

Первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делится на (х-с), а второе на (х-с) не делится, (ибо kg(x)0, т.к. P – поле характеристики нуль); поэтому вся эта сумма на (х-с) не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на (х - c)^k-1 определено однозначно, мы получаем, что (х-с)^k-1 является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен f (x), что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем

Следствие 1. k - кратный корень многочлена f(x) над полем характеристики нуль будет (k - s)-кратным s-й произ­водной, этого многочлена (ks) и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x).

Отсюда нетрудно получить

Следствие 2. Если f(x) – многочлен над полем характеристики нуль и для некоторого числа c f(c)=f ´(c)=…=f ^(k-1) (c)=0, но f ^(k) (c)≠0, то

c – корень кратности k многочлена f(x).