§5.Корни многочленов

В школе вы встречались со значениями многочлена. Напомним определение:

Определение 1. Если

f(x)= a₀ +a₁ x¹+…+ a_n-1 x^n-1+a_n xⁿ , (1)

есть некоторый многочлен из P[x], а с – некоторый элемент поля P или любого его расширения, то число f(c)= a₀ +a₁ c¹+…+ a_n-1 c^n-1+a_n cⁿ , полученное заменой в выражении (1) для f(x) неизвестного x числом с и последующим выполнением всех указанных операций, называется значением многочлена f (х) при х = с.

Понятно, что если f(x)= g(x) в смысле алгебраического равенства многочленов, то f(c)=g(c) при любом с.

Определение 2. Если f(c) = 0, т. е. многочлен f(x) обращается в нуль при под­становке в него числа с вместо неизвестного, то число с называется корнем многочлена f(x).

Это определение использует взгляд на многочлен, как функцию. Однако ниже мы найдем равносильное ему «алгебраическое» утверждение.

Если мы будем делить многочлен f(x) на произвольный много­член первой степени (или, как будем говорить дальше, на линейный многочлен), то остаток будет либо некоторым многочленом нулевой степени, либо нулем. Следующая теорема позволяет найти этот остаток, не выполняя самого деления, в случае, когда производится деление на многочлен вида х - с.

Теорема 1. Остаток от деления многочлена f(x) на линейный многочлен х - с равен значению f(с) многочлена f(x) при x = с.

Доказательство. Действительно, пусть f(x) = (x-c)q(x)+r. Отметим, что rP. Взяв значения обеих частей этого равенства при х = с, мы получаем: f(c) = (c-c)q(x) + r , или f(с) = r, что доказывает теорему.

Отсюда вытекает исключительно важная

Теорема Безу. Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена f(х), если f(x) делится на х-с.

Замечание 1. Теорема Безу показывает, что определение корня можно дать и на языке делимости многочленов. Если f(x) делится на некоторый многочлен первой степени ах-b , то делится, очевидно, и на многочлен х - b/a, т. е. на многочлен вида х - с. Таким образом, в силу теоремы Безу, разыскание корней многочлена f(x) равносильно разысканию его линейных делителей.

Метод Горнера

Ввиду сказанного выше представляет интерес следующий метод деления многочлена f(x) на линейный двучлен х - с, более простой, чем общий алгоритм деления многочленов. Этот метод называется методом Горнера.

Пусть

f(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+…+ a_n-1x¹ +a_n, (2)

и пусть

f(x) = (x-c)q(x) + r, (3)

где

q(x) = b₀x^n-1 +b₁x^n-2+…+ b_n-1 (4)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в (3) и учитывая (2) и (4), получаем:

а₀=b₀ ,

а₁=b₁ - cb₀,

а₂=b₂ - cb₁,

_……,

а_n-1=b_n-1 - cb_n-2,

а_n=r - cb_n-1.

Отсюда следует, что b₀= а₀ ; b_k=cb_k-1 + a_k (k=1,..,п-1).

Пример.

1. Разделить f (x) = 2x⁵ - x⁴ - Зx³ + х - 3 на x - 3.

Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f(x), под чертой – соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение с в данном примере:

	2	–1	–3	0	1	–3
3	2	32–1=5	35–3=12	312+0=36	336+1=109	3109–3=324

Таким образом, искомое частное будет

q (x) = 2х⁴ + 5x³ +12х² + 36x + 109,

а остаток r=f(3)=324 (мы воспользовались теоремой 1).

Этот пример показывает, что метод Горнера может быть использован также для быстрого вычисления значения многочлена при данном значении неизвестного.