§2. Деление с остатком

Мы отмечали, что у колец P[x] и Z много общего.

Аналогия P[x] и Z проявляется и в том, что для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деле­ния с остатком. Этот алгоритм для случая многочленов с дей­ствительными коэффициентами известен еще из элементар­ной алгебры. Так как, однако, мы рассматриваем теперь случай многочленов с коэффициентами из любого поля, следует дать заново все относящиеся сюда формулировки и привести доказательства.

Теорема 1. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) из P[x] при g(x)0 можно найти такие многочлены q(x) и r(x) из P[x], что

f(x)=g(x)q(x) + r(x), (6)

причем или степень r (х) меньше степени g(x), или же r(х) = 0. Многочлены q(x) и r(х), удовлетворяющие этому условию, опре­деляются однозначно.

Доказательство. Докажем сначала вторую половину теоремы. Пусть существуют еще многочлены и , также удовлетворяющие равенству

f(x)=g(x) + , (7)

, P[x],

причем степень снова меньше степени g(x). Приравнивая друг другу правые части равенств (6) и (7), получим:

Степень правой части этого равенства меньше степени g(x), степень же левой части была бы при больше или равна сте­пени g(x) (мы учитываем, что g(x)0). Поэтому должно быть =0 т. е. , а тогда и r(х) = (х), что и требовалось доказать.

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Если f(x)=0,то f(x)=0g(x)+0. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют, соответственно, степени п и s. Если п<s, то можно положить q(x)=0, r(x)=f(x). Если же п≥s, то воспользуемся тем же методом ”деления столбиком”, каким в элементарной алгебре производилось деление многочленов с действительными коэффициен­тами, расположенных по убывающим степеням неизвестного. Пусть

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, a₀0,

g(x)=b₀x^s+b₁x^s-1+…+b_s-1x+b_s, b₀0.

Полагая

 P[x], (8)

мы получим многочлен, степень .которого меньше п. Обозначим эту степень через n₁, а старший коэффициент многочлена f₁(х) – через а₁₀. Положим, далее, если все еще n₁≥s₁

 P[x], (8₁)

обозначим через n₂ – степень, а через а₂₀ – старший коэффициент многочлена f₂ (x)_t; положим затем

 P[x] (8₂)

и т. д.

Так как степени многочленов f₁ (x),f₂ (х), ,,, убывают. п≥n₁≥n₂≥ ..., то мы дойдем после конечного числа шагов до такого многочлена f_к(х),

 P[x], (8_k-1)

степень которого n_k меньше s, после чего наш процесс останавливается. Складывая теперь равенства (8), (8₁), ..., (8_k-1), мы получим:

 P[x],

т. е. многочлены q(x)= и r(x)=f_k(x) из P[x] действительно удовлетворяют равенству (6), причем степень r(х) меньше степени g(x).

Теорема доказана.

Замечание. Многочлен q(х) называется частным от деления f(х) на g(x), а r(х) –остатком от этого деления.

§3 Делители. Свойства делимости многочленов

Определение. Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и (х) из кольца P[x]. Если остаток от деления f(x) на (х) равен нулю, то говорят, f(x) делится (или нацело делится) на (x), а многочлен (x) называется делителем многочлена f(x). Если (x) – делитель f(x), то часто пишут: (x) f(x) ( (x) делит f(x)) или f(x) (x) (f(x) делится на (x)).

Утверждение 1. Многочлен (х) тогда и только тогда будет делителем много­члена f(x)_, если существует многочлен (x), удовлетворяющий равенству

f(x)= (x) (x). (1)

Необходимость. Если (х) является делителем для f(x), то в ка­честве (x) следует взять частное от деления f(x) на (х).

Достаточность. Пусть многочлен (x), удовлетворяющий равенству, приведенному выше, существует.

Из доказанной теоремы о единственности много­членов q(х) и r(х), удовлетворяющих равенству f(x)= (x)q(x)+r(x)

и условию, что степень r (х) меньше степени (x)_, в нашем случае следует, что частное от деления f(x) на (х) равно (x), а остаток равен нулю.

Утверждение доказано.

Понятно, что если равенство (1) имеет место, то (x) также будет делителем для f(x). Очевидно, далее, что степень (х) не больше степени f(x).

Заметим, что если многочлен f(x) и его делитель (х) оба содержаться в кольце P[x], то и много­член (x) также принадлежит кольцу P[x], так как он разыскивается при помощи алгоритма деления с остатком. Конечно, многочлен из P[x] может обладать и делителями из кольца S[x], где S – некоторое расширение поля P. Это показывает, например, равенство

Здесь (x²+1)R(x), но (x  i)C[x] и не содержатся в R[x].

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов, которые найдут в дальнейшем многочисленные применения. Обратите внимание на то, что эти свойства аналогичны соответствующим свойствам целых чисел.