§8. Определители и матрицы над произвольным полем

Можно проверить, что вся теория матриц и теория определителей остаются справедливыми, если в качестве элементов матриц и определителей рассматривать элементы произвольного поля (элементы поля часто называют числами). Отметим, что при этом приходится другим путем доказывать равенство нулю определителя, содержащего две одинаковые строки, ибо в поле характеристики 2 из равенства d=-d не следует, что d=0.

Глава 7. Многочлены и их корни §1.Кольцо многочленов

Определение 1. Назовем многочленом (или полиномом) п-й степени от неизвестного х над полем P формальное выражение вида

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x¹ + a_n = f(x) ,

где nN0 и коэффициенты a₀ , a₁ ,…, a_n-1, a_n принадлежат полю P, причем старший коэф­фициент a₀ должен быть отличным от нуля.

Выражение вида :

0xⁿ +0x^n-1+…+ 0x¹ +0

назовем нулевым многочленом . Это единственный многочлен, не имеющий степени.

Отметим, что при a₀0 a₀x⁰ – многочлен нулевой степени.

Определение 2. Два многочлена f(x) и g(x) назовем равными (или тождественно равными) f(x)=g(x), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

В частности, нулевой многочлен – это число 0 из P. Поэтому никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулевому многочлену. Отметим, что знак равенства, упо­требляемый в записи уравнения n-й степени f(x)=0, не имеет никакого отношения к определенному сейчас равенству многочленов. Знак равенства, связывающий многочлены, следует в дальнейшем всегда понимать в смысле тождественного равенства этих многочленов.

Если даны многочлены f(x) и g(x) с коэффициен­тами из поля P, записанные для удобства по возрастающим степеням х:

f(x)= a₀ +a₁ x¹+…+ a_n-1 x^n-1+a_n xⁿ , a_n0, (1)

g(x)= b₀ +b₁ x¹+…+ b_s-1 x^s-1+b_s x^s , b_s0 , (2)

и если, например, n>s , то их суммой называется многочлен

f(x)+g(x)= c₀ +c₁ x¹+…+ c_n-1 x^n-1+c_n xⁿ ,

коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов f(х) и g(x), стоящих при одинаковых степенях неизвест­ного, т. е. c_i =a_i +b_i i = 1, ..., n,

(недостающие степени в записи g(x) добавляем с нулевыми коэффициентами).

Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен, коэффициенты которого определяются следующим образом:

f(x)g(x)= d₀ +d₁ x¹+…+ d_n+s-1 x^n+s-1+d_n+s x^n+s , d_n+s0 ,

где . (3)

Этот результат получим, подставив в f(x)g(x) их виды (1) и (2), а затем раскрыв скобки и приведя подобные. В частности, d_n+s=a_nb_s. Т.к. a_n0, b_s0 и в поле нет делителей нуля,то отсюда вытекает, что степень произведения двух ненулевых много­членов равна сумме степеней этих многочленов.

Отсюда следует

Утверждение 1. Произведение многочленов, отличных от нуля, никогда не будет равным нулю.

Обозначим через P[x] множество всех многочленов от x с коэффициентами из P.

Покажем,что P[x] – кольцо:

1. Коммутативность и ассоциативность сложе­ния немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сло­жения коэффициентов из поля P, так как складываются коэффициенты при каждой степени неизвестного отдельно. Нулевой многочлен – это число 0P.

2. Противоположным для записанного в (1) много­члена f(x) будет многочлен

-f(x)= -a₀-a₁x¹-…-a_n-1x^n-1-a_nxⁿ , т.к. -a_i P и

f(x)+(-f(x))=0.

3. Коммутативность умножения вытекает из коммутатив­ности умножения коэффициентов из поля P и того факта, что в определении произведения многочленов (смотрите (3)) коэффициенты обоих множителей f(x) и g(x) исполь­зуются совершенно равноправным образом:

.

4. Ассоциативность умножения :

[f(x)g(x)]h(x)= f(x)[g(x)h(x)].

Если f(x) записать в виде (1), g(x) – в виде (2), и h(x)= c₀+c₁x¹+…

+c_k-1x^k-1+c_kx^k , то коэффициентом при xⁱ в произведении [f(x)g(x)]h(x) будет число:

, а в произведении f(x)[g(x)h(x)] – число

.

Эти числа равны. Ассоциативность доказана.

5. Роль единицы при умножении многочленов играет число 1, т.к. f(x)1=f(x).

6. [f(x)+g(x)]h(x) = f(x)h(x)+g(x)h(x).

Дистрибутивность вытекает из равенства:

,

так как левая часть этого равенства является коэффициентом при хⁱ в многочлене [f(x) + g(x)]h(x), а правая часть — коэффициентом при той же степени неизвестного в многочлене f(x) h(x)+g(x)h (x).

Итак, P[x] кольцо. В силу утверждения 1 в нем нет делителей нуля.

Доказана.

Теорема 1. P[x] – кольцо без делителей нуля.

Посмотрим, не будет ли P[x] полем.

Выше отмечено, что роль единицы при умножении многочленов играет число 1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени. С другой стороны, многочлен f(x) тогда и только тогда обладает обрат­ным многочленом f ^-1 (x) в P[x]_, f(x)f^-1(x)=1, (5)

когда f(x) является многочленом нулевой степени. Действительно, если f(x) является отличным от нуля числом а, то обратным много­членом служит для него число а^-1P. Если же f(x) имеет степень n>1, то степень левой части равенства (5), если бы многочлен f^-1(х) существовал, была бы не меньше п, в то время как справа стоит многочлен нулевой степени.

Отсюда вытекает, что не всякий многочлен имеет в Р[x] обратный. Поэтому кольцо P[x] не является полем. В этом отношении (и, как мы увидим, во многих других) кольцо P[x] напоминает кольцо Z целых чисел.

Замечание. Многочлены из P[x] можно рассматривать и как функции, заданные на P. Но понятия равенства функций (f(x)=g(x)f(x₀)=g(x₀) x₀P) отличается от понятия равенства многочленов (как тождественного равенства). В дальнейшем мы получим равносильность двух понятий равенства – алгебраического и теоретико-функционального, но только для бесконечных полей. В общем случае эти понятия не совпадают.

Пример. Рассмотрим многочлены f(x)=x²+1 и g(x)=x+1 над полем P={0,1} из двух элементов. Имеем: f(1)=1²+1=0; g(1)=1+1=0; f(0)=0²+1=1; g(0)=0+1=1.

Итак, g(x₀)=f(x₀) x₀P, т.е. f(x) и g(x) – равные функции, но как многочлены они не равны.