Глава 6. Основные алгебраические структуры §1. Алгебраическая операция

Дано некоторое множество М.

Определение. Будем говорить, что во множестве М определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов a и b из этого множества, взятых в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества М.

Заметим, что этим мы определяем только однозначные операции.

Условие, что результат операции называется замкнутостью операции.

Чаще всего алгебраическую операцию называют либо умножением (ab=c), либо сложением (a+b=c).

Примеры.В произвольном непустом множестве М можно ввести операции:

1. ;

2. пусть , тогда .

§2. Группы

Группы – множества с одной алгебраической операцией (чаще всего ее называют умножением). Поэтому мы приводим сначала определение группы по умножению.

Определение 1. Множество G, в котором определена операция умножения, называется группой (относительно этой операции), если выполняются следующие требования (аксиомы группы):

1. Ассоциативность: .

2. Существование единичного элемента: .

3. Существование обратного элемента: .

Замечание. Точно также, как для матриц, можно доказать единственность единичного и обратного элементов в группе.

Примеры групп по умножению:

1. Самая маленькая группа может состоит из одного элемента – единицы.

2. Множество из двух элементов .

3. Множество корней n-ой степени из единицы (при фиксированном ). Действительно, из свойств корней следует, что если ,то , т.е. операция умножения замкнута. Существование единичного и обратного элементов в C_n очевидно.

4. Множество действительных чисел без нуля.

5. Множество S_n подстановок n-ой степени – симметричная группа n-ой степени. При n≥2 эта группа некоммутативная.

Определение 2. Множество G, в котором определена операция сложения, называется группой (относительно этой операции), если выполняются следующие условия:

1. Ассоциативность: .

2. Существование нулевого элемента:

.

3. Существование противоположного элемента:

.

Примеры групп по сложению:

1. Число 0.

2. Z – множество целых чисел.

3. Четные числа Z₂.

4. Множество комплексных чисел.

5. M_n(R) – множество всех матриц n-го порядка с элементами из R.

В этом множестве следующим образом определено сложение матриц: если и , то . Нетрудно проверить, что M_n(R) – группа по сложению; ее нулевой элемент имеет вид

, а противоположный элемент .

6. Ф – множество всех функций действительной переменной с одной и той же областью определения. Роль нуля играет функция, все значения которой равны нулю: f(x)≡0; функция -f(x) – противоположная f(x).

§3. Кольца

Кольца – это множества с двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением.

Определение 1. Множество К, в котором определены две алгебраические операции – сложение и умножение, называется кольцом, если

1. К – группа по сложению.

2. Сложение коммутативно: .

3. Умножение ассоциативно: .

4. Выполняются два дистрибутивных закона: .

Заметим, что дистрибутивные законы – единственные аксиомы, связывающие сложение и умножение.

Примеры колец:

1. К={0}.

2. Множество целых чисел Z.

3. Множество четных чисел Z₂.

4. Множество комплексных чисел.

5. M_n(R) – множество всех матриц n-го порядка с элементами из R.

6. Ф – множество всех функций действительной переменной, определенных на R.

Замечание 1. В книге [1] в определении кольца требуется и коммутативность умножения. Это – более частный вид колец. Обычно такая коммутативность не требуется.