§3. Умножение матриц

Во множестве М_n всех матриц n-го порядка с комплексными элементами по формуле (13) мы ввели операцию умножения.

Отметим некоторые ее свойства.

1. Умножение матриц n-го порядка при n2 некоммутативно, т.е. при n≥2 найдутся две матрицы А и В, такие, что . Например,

, но .

2. Умножение матриц ассоциативно: .

Доказательство можно посмотреть в [1].

3. Среди матриц n-го порядка существует такая, которая играет роль единицы:

.

Она обладает свойством: .

Заметим, что единичная матрица – это матрица тождественного линейного преобразования, при котором просто переобозначаются неизвестные:

.

§4. Обратная матрица

Возникает вопрос: существует ли для данной матрицы такая матрица А^-1, чтобы

? (16)

Для решения этого вопроса рассмотрим следующее утверждение.

Теорема (об определителе произведения матриц). Если , то определитель произведения этих матриц равен произведению определителей сомножителей, т.е.

. (17)

Доказательство этой теоремы можно найти в [1].

Следствие 1. Определитель произведения конечного числа матриц равен произведению определителей сомножителей, т.е. .

Доказательство данного утверждения проводится методом математической индукции.

Определение. Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае – невырожденной.

Следствие 2. Если А и В – две невырожденные матрицы, то произведение АВ – также невырожденная матрица.

Очевидно, что если , то в силу теоремы .

Следствие 3. Если хотя бы одна из матриц-сомножителей вырожденная, то и их произведение будет вырожденной матрицей.

Доказательство очевидно.

Следствие 4. Вырожденные матрицы не имеют обратных.

Доказательство. Пусть . Предположим, что существует обратная матрица А^-1 к матрице А, т.е. . Тогда по следствию 3 матрица Е – вырожденная, т.к. А – вырожденная; но . Полученное противоречие доказывает следствие 4.

Следствие 5. Если у матрицы А есть обратная, то A – невырожденная матрица.

Пусть теперь А – произвольная невырожденная матрица n-го порядка.

.

Рассмотрим определитель d матрицы А и для каждого элемента a_ij найдем его алгебраическое дополнение A_ij. Из этих алгебраических дополнений составим следующую матрицу:

.

В ней j-й столбец представляет собой набор алгебраических дополнений j-ой строки определителя d в естественном порядке.

Матрица А* называется присоединенной к матрице А.

Найдем произведение матриц А и А*.

. (1)

Заметим, что мы использовали правило разложения определителя по строке и фальшивое разложения определителя по строке.

Из равенства (1) видно, что если d≠0, т.е. матрица А невырожденная, то разделив все элементы матрицы А* на d, получим матрицу А^-1:

, (2)

.

Отметим, что из этого равенства следует: AA^-1=E=1, то есть A^-1= .

Доказано

Утверждение 1. У каждой невырожденной матрицы существует хотя бы одна (невырожденная) обратная матрица вида (2).