§4. Еще одно свойство определителей

Теорема 6 (фальшивое разложение определителя по строке). Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю.

Доказательство. Пусть дан определитель n-го порядка d. Рассмотрим две его строки:

Докажем, что (25), если . (26)

Заменим элементы j-ой строки произвольными числами с₁, с₂, …, с_n . Получим следующий определитель:

.

Разложим определитель ∆ по его j-ой строке. Учитывая, что остальные строки у определителей d и ∆ одинаковые, а также то, что алгебраические дополнения элементов j-ой строки не зависят от этой строки, мы получим:

(27). Равенство (27) справедливо при любых Полагаем (28), т.е. в определителе ∆ в качестве элементов j-ой строки возьмем снова его i-ую строку. Тогда получим определитель, равный нулю. Подставляя в равенство (27) значения с₁, с₂, …,с_n из (28), получаем равенство (25).

Теорема доказана.

Замечание. Это свойство определителей используется в ряде доказательств (в частности, при установлении вида обратной матрицы).

Глава 5. Матрицы §1. Простые и двойные суммы

Введем некоторые общематематические понятия.

Определение 1. Сумма вида называется простой суммой и обозначается , т.е. = . (1)

Здесь i – индекс суммирования, a_i – любые выражения, зависящие от i. Слева в (1) простая сумма записана в свернутом виде, справа – в раскрытом.

Например, .

Свойства простых сумм

1. Простая сумма не зависит от обозначения индекса суммирования, т.е.

. (2)

Для доказательства достаточно раскрыть в (2) обе суммы.

2. Из-под знака простой суммы можно выносить постоянный множитель, т.е. множитель, не зависящий от индекса суммирования:

(3)

Действительно, .

Свойство справедливо для любых слагаемых, для которых справедлив дистрибутивный закон.

Двойные суммы

Определение 2. Двойной суммой называют сумму простых сумм следующего вида:

(4)

Пример. .

Свойства двойных сумм

Все свойства простых сумм справедливы и для двойных сумм. Но есть у них и специфическое свойство.

3. В двойной сумме можно менять порядок суммирования, т.е.

(5)

Для доказательства достаточно заметить, что обе части равенства (5) представляют собой сумму всех элементов матрицы , только в одной части суммирование сначала производится по строкам, а потом складываются полученные суммы, а в другой части – сначала по столбцам.

Свойство 3 справедливо для любых слагаемых, для которых справедлив ассоциативный закон сложения.

§2. Линейные преобразования неизвестных

Определение 1. Пусть даны две системы неизвестных:

(6) – «старая»,

(7) – «новая».

Переход от системы неизвестных (6) к новой системе (7) называется линейным преобразованием неизвестных, если

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

,

где .

(8) – это линейное преобразование неизвестных (здесь «старые» неизвестные выражаются через «новые»)

Заметим, что линейное преобразование (8) удобно записать на языке сумм:

, . (9)

Определение 2. Матрица называется матрицей линейного преобразования (8).

Определение 3. Два линейных преобразования неизвестных называются равными, если равны их матрицы (т.е. если равны соответствующие элементы этих матриц).

Это означает, что если в записи линейного преобразования сменить обозначения неизвестных, то мы получим то же самое линейное преобразование.

Введем умножение линейных преобразований неизвестных.

Определение 4. Произведением двух линейных преобразований n известных называют результат их последовательного выполнения.

Рассмотрим линейное преобразование (8) и другое линейное преобразование неизвестных:

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (10)

,

, – матрицы линейных преобразований (8) и (10).

Пусть требуется перемножить линейные преобразования (8) и (10). Для нахождения их произведения надо неизвестные из (10) подставить в равенства (8). Нетрудно видеть, что получим новое линейное преобразование неизвестных:

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (11)

с матрицей .

Найдем выражение элементов матрицы С через элементы матриц А и В. Для этого равенство (10) запишем в виде:

(10’), .

Подставим y_j из (10’) в (9). Используя свойства простых и двойных сумм, получаем:

(12) Сравнивая записи (11) и (12), видим: , . (13)

Мы получили, что матрица С произведения линейных преобразований с матрицами А и В находится по формулам (13).

Определение 5. Матрицу произведения двух линейных преобразований назовем произведением матриц этих преобразований.

По этому определению умножение матриц проводится по формулам (13).

Расписывая сумму (13), имеем:

. (14)

Это означает, что элемент с_ik матрицы С равен произведению i-ой строки матрицы А на k-й столбец матрицы В.