9. Методы статистического изучения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Понятие причинности, регрессии и корреляции.

Понятие причинности применяется всегда, когда осуществление одного события оказывается достаточным основанием для ожидания того, что произойдет другое событие. В этом случае первое событие выступает причиной, а второе - следствием.

Статистическое изучение связи между причиной и следствием состоит из нескольких этапов.

На первом этапе изучается качественный анализ рассматриваемого явления, связанный с анализом природы явления. На втором этапе строится модель связи. Этот этап базируется на методах статистики: группировках, средних величинах, таблицах и т.д. На третьем, последнем этапе осуществляется интерпретация результатов. Этот этап так же, как и первый, связан анализом природы изучаемого явления.

Корреляция - это статистическая зависимость между величинами, не имеющая строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению другой величины.

В статистике принято различать следующие варианты зависимостей:

1. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными);

2. Частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксации значений других факторных признаков;

3. Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат - результативного. Точки с соответствующими абсциссами и ординатами наносятся на плоскость. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между признаками: при парной корреляции - между двумя признаками; при множественной корреляции - между несколькими.

Задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа.

Корреляционный анализ изучает взаимозависимости показателей и позволяет решить следующие задачи:

1. Задача оценки тесноты связи между показателями с помощью парных, частных и множественных коэффициентов корреляции; 2. Задача оценки уравнения регрессии.

Основной предпосылкой применения корреляционного анализа является необходимость подчинения совокупности значений всех факторных признаков (Х1, Х2, ...Хк) и результативного признака (У) нормальному закону распределения или близость к нему. Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (У) от факторных (Х1, Х2, ..., Хк).

Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак (У) подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки Х1, Х2, ..., Хк могут иметь произвольный закон распределения. В динамических рядах в качестве фактора выступает время. При этом в регрессионном анализе заранее подразумевается наличие причинно-следственных связей между результативным (У) и факторными (Х1, Х2, ..., Хк) признаками.

Уравнение регрессии, или статистическая модель связи массовых процессов и явлений, выражаемая функцией

Ух = Ф (Х1, Х2, ..., Хк), является достаточно адекватным реальному моделируемому явлению или процессу в случае соблюдения следующих требований их построения:

1. Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями;

2. Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей;

3. Все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение;

4. Наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности;

5. Причинно-следственные связи между явлениями и процессами следует описывать линейной или приводимой к линейной формами зависимости;

6. Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи;

7. Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности.

Соблюдение данных требований позволяет исследователю построить статистическую модель связи, наилучшим образом аппроксимирующую моделируемые массовые процессы и явления.

Парная регрессия на основе наименьших квадратов и метода группировок, многофакторная регрессия.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результирующим и факторным. Аналитическая форма записи этой связи имеет вид:

прямая -

гиперболы -

параболы -

Определить тип уравнения можно, первоначально исследуя зависимость графически.

Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.

Сущность МНК состоит в том, что ищутся параметры модели , при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, то есть полученных по выбранному уравнению регрессии:

где Y - фактическое значение признака;

- теоретическое значение признака.

Для прямой зависимости это выглядит так:

Из курса математики известно, что функция достигает своего минимума, когда равны нулю ее производные. Производные берутся по параметрам и . Так как и не заданы, то именно они являются неизвестными и должны быть определены.

Откуда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной регрессии имеет следующий вид:

где n - число наблюдений.

В уравнениях регрессии параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; а параметр (в уравнении параболы и ) - коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения (то есть скорость изменения результативного при изменении на единицы факторного признака).

Существуют другие методы минимизации ошибки (разности между теоретическим значением результирующего фактора и его фактическим значением). Однако наиболее оптимальным вариантом является оценка ошибки по МНК. Этот метод обладает тем замечательным свойством, что делает число нормальных уравнений равным числу неизвестных коэффициентов.

Оценка существенности связи.

Проверка адекватности модели регрессии, построенной на основе того или иного уравнения связи, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Оценка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента:

где - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели регрессии признается статистически значимым, если выполняется неравенство:

( ; =n-k-1)

где - уровень значимости критерия проверки гипотезы о равенстве нулю параметров, измеряющих связь, то есть статистическая существенность связи утверждается (признается) при отклонении нулевой гипотезы об отсутствии связи;

=n-k-1 - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

Дисперсия коэффициента регрессии может определяться одним из двух способов:

где - дисперсия результативного признака;

- число факторных признаков в уравнении.

Или:

где - величина множественного коэффициента корреляции по фактору с остальными факторами;

- среднее квадратическое отклонение рассматриваемого фактора;

- среднее квадратическое отклонение результирующего фактора.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F -критерия и величины средней ошибки аппроксимации.

Если средняя ошибка аппроксимации не превышает 12 - 15%, то уравнение построено верно.

При проверке адекватности уравнения регрессии исследуемому процессу возможны следующие варианты:

1. Построенная модель на основе ее проверки по критерию Фишера в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений к осуществлению прогнозов.

2. Модель по критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.

3. Модель по критерию Фишера адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. Модель в этом случае отвергается. На ее основе никаких решений проводит нельзя.

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация уравнения регрессии, то есть перевод его с языка статистики и математики на содержательный уровень.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

где - среднее значение соответствующего факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

- коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Частный коэффициент детерминации также используется для расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии. Он рассчитывается по формуле:

где - парный коэффициент корреляции между результативным и i - факторным признаком;

- соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованной форме.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i - го признака, входящего в множественное уравнение регрессии.

Рассчитываются также множественный коэффициент детерминации, который представляет собой множественный коэффициент корреляции в квадрате. Он характеризует, какая доля вариации результативного признака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную модель.

Рассчитываются также некоторые другие коэффициенты, позволяющие интерпретировать модель регрессии.

Отрицательными свойствами уравнений регрессии являются:

-хорошо аппроксимируются только те значения результативного признака, которые стоят в середине вариационного ряда индивидуальных значений. Ошибка аппросимации не превышает 1 - 2%;

-ошибка аппроксимации на концах исходного ряда может достигать 50%;

-уравнения регрессии пригодны только для краткосрочных прогнозов;

-на основе уравнения регрессии невозможно получить оптимального значения моделируемого показателя.

Непараметрические показатели связи.

В анализе социальных явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам, например рангам, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи. Данные коэффициенты исчисляются при условии, что исследуемые признаки подчиняются различным законам распределения. К непараметрическим показателям связи относят: