Тема 15. Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Перечень методов линеаризации

При изучении метода наименьших квадратов для определения коэффициентов математических функций были указаны пять предпосылок относительно остатков модели, предполагалось, что модель является линейной относительно параметров и переменных, коэффициенты которых соединены аддитивно.

Однако не указывалось на возможность использования МНК для определения коэффициентов нелинейных функции.

Если нелинейную модель можно преобразовать в новую модель линейного вида относительно параметров и переменных, коэффициенты которой соединены аддитивно, то по отношению к этим коэффициентам новой модели можно использовать МНК.

Процесс преобразования нелинейной модели в линейную называется линеаризацией.

Можно выделить следующие методы линеаризации:

1- метод замены переменной;

2- метод логарифмирования;

3- метод обращения;

4- метод разложения функции в ряд Тейлора.

После преобразования нелинейной модели в линейную, коэффициенты линейной функции можно рассчитать с помощью функции ЛИНЕЙН.

Если не удалось преобразовать нелинейную модель в линейную, то расчеты коэффициентов любой функции можно выполнить с помощью программы Ехсе1 «Поиск решения», в которой необходимо найти такие коэффициенты функции, при которых сумма квадратов остатков (целевая функция) будет минимальной.

Метод замены переменной

Метод замены переменной осуществляется в том случае, если в исходной модели параметры находятся в первой степени и соединены аддитивно, а переменные находятся в степени, отличной от единицы.

Пример 1.

Дана У=а₀+а₁Х+а₂Х² +е – параболическая модель.

Если произвести замену: Х=Z₁, Х² =Z₂, то получится новая модель:

У=а₀+а₁*Z₁ + а₂*Z₂ + е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

Пример 2.

У = а₀+а₁/Х + е – гиперболическая модель.

Если произвести замену: 1/Х=Z, то получится новая модель:

У=а₀+а₁Z + е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

Пример 3.

У = а₀+а₁*LnХ₁ + а₂/Х₂ + а₃*корень(Х₃) +а₄*е^Х4 +е – комбинированная модель.

Если произвести замену: LnХ₁= Z₁, 1/Х₂ = Z₂, корень(X₃) = Z₃, е^Х4 =Z₄, то получится новая модель:

У=а₀+а₁Z₁ + а₂Z₂ + а₃Z₃ + а₄Z₄ + е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

Метод логарифмирования.

Метод логарифмирования осуществляется в том случае, если в исходной модели параметры находятся в степени, отличной от единицы или находятся в степени переменной, остатки модели соединены мультипликативно.

Пример 1.

Дана У= а₀*X^a1е – степенная модель, кривая Энгеля.

lnУ = lna₀+a₁*lnX+ lne

Если произвести замену: lnУ=Z₁, lna₀ = Z₂, lnX = Z₃ , lne = v, то получится новая модель:

Z₁= Z₂+а₁Z₃ + v, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

Если в выражении lna₀ = Z₂ значение Z₂ найдено, то а₀ определяется потенцированием, по формуле a₀=е^Z2 = ехр(Z₂)

Пример 2.

У=а₀*а₁^Х *е – показательная модель.

lnУ = lna₀+ lna₁*X + lne

Если произвести замену: lnУ=Z₁, lna₀ = Z₂, lnа₁ = Z₃ , lne = v, то получится новая модель:

Z₁= Z₂+Z₃*Х + v, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

Если в выражении lna₀ = Z₂ значение Z₂ найдено, то а₀ определяется потенцированием, по формуле a₀=е^Z2 = ехр(Z₂)

Если в выражении lna₁ = Z₃ значение Z₃ найдено, то а₁ определяется потенцированием, по формуле a₁=е^Z3 = ехр(Z₃)