Свойства

Предпосылки

9.1. Коэффициент корреляции

9.2. Свойства коэффициента корреляции

9.3. Предпосылки коэффициента корреляции

Тема 9. Оценка тесноты связи

9.4. Виды ложной корреляции

9.5. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

9.4.1. Ложная корреляция стратификации

9.4.2. Ложная корреляция временных рядов

Проверка

9.4.3. Ложная корреляция Пирсона

Этап 1

Этап 2

Этап 3

Этап 4

9.4.5. Ложная корреляция процентных чисел

9.4.5. Ложная корреляция неслучайных переменных

Тема 9. Оценка тесноты связи

9.1. Коэффициент корреляции

Для определения степени связи между двумя случайными переменными Х и У вычисляется коэффициент корреляции по формуле:

которая читается следующим образом:

коэффициент корреляции между переменными Х и У

равен частному от деления числителя на знаменатель,

числитель равен сумме произведений отклонений Х и У от своих средних значений,

знаменатель равен корню квадратному от произведения суммы квадратов отклонений Х и У от своих средних значений.

9.2. Свойства коэффициента корреляции

Построим корреляционное поле зависимости У от Х см. рис

Разделим корреляционное поле двумя линиями У_с и Х_с, которые выделят четыре зоны.

Выделенные зоны обладают следующими свойствами:

- в первой зоне произведения (Х_i-Х_с)*(У_i-У_с) имеют положительные значения, так как отклонения имеют одинаковый положительный знак;

- в третьей зоне отклонения (Х_i-Х_с) и (У_i-У_с) имеют одинаковый отрицательный знак, а их произведение (Х_i-Х_с)*(У_i-У_с) имеет положительное значение;

- во второй и четвертой зоне отклонения (Х_i-Х_с) и (У_i-У_с) имеют разные знаки, а их произведения имеют отрицательное значение.

Сумма произведений отклонений (Х_i-Х_с) и (У_i-У_с), равная

∑(Х_i-Х_с)* (У_i-У_с) обладает следующими свойствами:

- будет иметь положительное значение, если исходных данных будет больше в третье и первой зоне (данные будут иметь прямо пропорциональную или положительную тенденцию),

- будет отрицательной, если исходных данных будет больше во второй и четвертой зоне (данные будут иметь обратно пропорциональную или отрицательную тенденцию)

- будет равной нулю если исходных данных будет одинаково во всех зонах (данные будут расположены по кругу и линия тенденции будет иметь горизонтальную линию, совпадающей с У_с).

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Значения коэффициента корреляции r(x,y) могут находиться в интервале [-1,+1].

2. Отрицательное значение r(X,y) означает, что при увеличении X наблюдается тенденция уменьшения y,

положительное - при увеличении x наблюдается увеличение y.

3. Если между Х и У существует функциональная линейная зависимость, то коэффициент корреляции принимает значения либо +1, либо -1.

4. Если коэффициент корреляции равен 0, то это означает, что между х и у нет линейной зависимости, но может быть нелинейная зависимость.

5. Корреляционным полем называется график совместного распределения х и у.

9.3. Предпосылки коэффициента корреляции

Для корректного расчета коэффициента корреляции должны выполняться следующие предпосылки относительно переменных:

1 – переменные Х и У являются случайными величинами;

2 – переменные Х и У имеют нормальный закон распределения;

3 – переменные Х и У являются однородными.

Если не соблюдаются предпосылки корреляционного анализа, расчет коэффициента корреляции является некорректным и полученные выводы могут быть ложными.

Нарушение этих предпосылок порождают разные типы ложных корреляции: