2. Законы распределения случайных величин.

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, называется законом распределения этой случай­ной величины. Знание закона распределения позволяет решить практически любую задачу теории вероят­ности, связанную с данной случайной величиной, и заранее (до опыта!) установить, какое значение случайной величины будет появляться чаще, а какое реже, и насколько.

Для дискретной случайной величины законом распределения выступает правило сопоставления каждому возможному зна­чению х_i случайной величины Х вероятности его появления р_i = Р(Х=х_i) (читается: «вероятность того, что случайная величина Х примет значение х_i»).

При небольшом числе возможных значений диск­ретной случайной величины закон распределения проще всего задавать в виде таблицы:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Задача 21. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 10 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

1. Здесь возможные значения для Х есть:

х₁ = 1000, х₂ = 100, х₃ = 10, х₄ = 0.

2. Вероятности их соответственно будут:

р₁ = 1/10000 = 0,0001, р₂ = 10/10000 = 0,001, р₃ = 100/10000 = 0,01, р₄ = 1 – (р₁ + р₂ + р₃)  0,9889.

3. Закон распределения для выигрыша Х может быть задан таблицей:

X	1000	100	10	0
p	0,0001	0,001	0,01	0,9889



Закон распределения для непрерывной случайной величины Х есть всякое соотношение, сопоставляющее с каждой измери­мой областью её возможных значений Х соответствующую вероятность Р(ХХ).

Например, если среднее время безотказ­ной работы компьютеров данного типа равно s часов, то веро­ятность проработать без отказа не менее t часов, т.е. P(Тt), в некоторых случаях может быть выражена экспоненциальным законом распределения:

P(Тt) = , при t  0.

3. Функция распределения. Функция плотности вероятности.

Существует много различных форм законов распределения. Наиболее универсальной из форм яв­ляется функция распределения.

Функцией распределения (x), или интегральным законом распределения, случайной величины Х называется функция (x) = Р(–хх), задающая вероятность выполнения неравенства Х<х.

Функция распределения определена для случайных величин любого типа: дис­кретных и непрерывных.

Определение функции рас­пределения имеет нагляд­ную геометрическую интерпретацию. Если значения случайной величины Х рассматри­вать как точки числовой оси Ох, то (x) есть вероятность события, состоящего в том, что наблюдаемое значение случайной величины Х принадлежит интервалу (–, х), т.е. находится левее точки х.

Свойства функции распределения:

1) (x) – неотрицательная функция, значения которой зак­лючены между 0 и 1, т.е.

0  (x)  1;

2) (–) = 0;

3) (+) = 1;

4) (x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. если х₁ > х₂ то(x₁) > (x₂);

5) Р(а  X  b) = F(b) – F(a).

Введение функции распределения позволяет дать точное оп­ределение непрерывной случайной величины: случайная величи­на называется непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная функция с кусочно-непрерывной производной.

Непрерывную случайную величину удобнее описывать законом распределения, который называют функцией плотности вероятности, или дифференци­альным законом.

Пусть Х – непрерывная случайная величина, имеющая функцию распределения (x). Если эта функция диф­ференцируема, то можно рассматривать ее производную (x) = (х). Функция (х) называется плотностью вероятности случайной вели­чины Х, или функцией распре­деления вероятностей (рис. 1).

Рис. 1. График функции плотности вероятности

Вероятность Р(а  X  b) = . Геометрически эта вероятность представляет собой площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности y=(х), осью Ох и двумя ординатами x=a и x=b (см. рис. 1).

Полагая a = –, b = x и обозначая для ясности переменную интегрирования х другой буквой, например t (это законно для определённого интеграла), получаем функцию распределения:

(x) = Р(–хх) = .

Свойства функции плотности вероятности:

1) (х) – неотрицательная функция, (х)  0;

2) интеграл в бесконечных пределах от функции плотности вероятности (если она задана на всей числовой оси) равен 1:

() = Р(–х+) = = 1 (это свойство называется условием нормировки).

Замечание. Если случайная величина задана только на от­резке [х₁, x₂], то пределы интегрирования изменя­ются на х₁ и х₂:

() = Р(х₁хх₂) = = 1.