Элементы теории вероятностей

Случайные величины

Случайная величина. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Законы распределения случайных величин. Функция распределения. Функция плотности вероятности. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение. Наиболее распространённые законы распределения вероятностей

1. Определение случайной величины.

Величина, которая в ре­зультате опыта может принимать одно и только одно определённое значение, до опыта не известное и зависящее от причин, которые нельзя учесть заранее, называется случайной величи­ной.

Названия случайных величин обычно обозначают заглав­ными буквами: X, Y, Z,..., а их возможные значения – прописными буквами: х, у, z,.…

Рассмотрим примеры.

1. Проводятся выборы в представительные органы власти. Случайным событием является факт выбора (или не выбора) конкретного кандидата. При этом несомненный интерес пред­ставляет количество поданных за него голосов – случайная ве­личина, количественно характеризующая результаты выборов.

2. Исследуется надёжность нового прибора. Случайным со­бытием является факт прохождения тестовых испытаний (удов­летворяет или не удовлетворяет оговорённому уровню требований). Случайной величиной может выступать процент приборов, про­шедших испытание. В рамках испытаний может рассматривать­ся та или иная группа характеристик. Например, факты безот­казной работы «не менее заданного срока» могут измеряться конкретным параметром – временем безотказной работы.

3. Проводится социальное обследование, в котором изуча­ется социальный портрет жителей данного города. Случайно выбранному жителю задаются вопросы о его социальной при­надлежности, профессии, возрасте, семейном положении, ко­личестве детей, обеспеченности жильём и т.п. Случайным со­бытием является факт опроса того или иного жителя. Количе­ственным же результатом опроса выступает вектор значений, каждый компонент которого есть количественная мера соот­ветствующей характеристики опрашиваемого.

Эти и многие другие примеры приводят к выводу, что слу­чайные величины обычно имеют конкретный физический смысл и могут быть как скалярными, так и векторными.

Таким образом, случайной величиной называется измеримая функция х = х( ), отображающая пространство эле­ментарных событий Q на множество действительных чисел R.

Если множество Q конечно или счётно, то случайная вели­чина называется дискретной.

Примеры дискретных случайных величин: количество уголовных дел, рассматриваемых данным судом за определённое время; количество клиентов; количество диалек­тов в данном языке; количество избирателей округа, которые примут участие в предстоящих выборах; количество телевизо­ров, которые необходимо проверить до выявления первого не­исправного и т.п.

Итак, дискретной считают такую случайную величину, возможные значения которой можно пронумеровать.

Непрерывной называют такую случайную величину, возмож­ные значения которой непрерывно заполняют некоторый про­межуток числовой оси, т.е. множество Q имеет мощность кон­тинуума.

Например, время выхода из строя работающего ком­пьютера, ошибка указателя скорости автомобиля, вес выбран­ного яблока и т.п.