4. Выборки по одному признаку.

Каждый объект в выборке изучается относительно некоторого коли­чественного или качественного признака X.

Примеры.

Х – успеваемость по предмету.

Y – познавательная активность студента по предмету.

Z – объём оперативной памяти.

Все эти качественные признаки являются дискретными случайными величинами (законы распределений которых неизвестны), если использо­вано ранжирование, т.е. выделение уровней (рангов) качества.

Для признака Х используется 4 ранга:

x₁=«2», x₂=«3», x₃=«4», x₄=«5».

Для признака Y обычно используется 5 рангов:

y₁ = «1» - постоянная увлеченность предметом;

y₂ = «2» - постоянный интерес к предмету;

y₃ = «3» - периодический интерес к предмету;

y₄ = «4» - отсутствие интереса к предмету;

y₅ = «5» - отказ учиться, неприязнь к предмету.

Для признака Z можно использовать два ранга:

z₁ = «1» - относительно большой объём оперативной памяти;

z₂ = «2» - относительно маленький объём оперативной памяти.

Выборки по одному признаку можно задавать тремя способами:

а) с помощью простого вариационного ряда;

б) с помощью вариационного ряда частот;

в) с помощью вариационного ряда относительных частот.

Для того чтобы задать выборку с помощью простого вариационного ряда, нужно просто записывать значения признака для каждого объекта выборки.

Пример.

Пусть Х – успеваемость по предмету.

(2; 3; 4; 5; 2; 3; 2; 5; 5; 5) – выборка объёма n = 10, заданная с помо­щью простого вариационного ряда.

При задании выборки с помощью вариационного ряда частот пред­варительно нужно указать варианты – различные значения признака.

Для каждой варианты х_i определяют её частоту n_i. n_i – число появлений варианты х_i в выборке; причём .

В этом случае для того, чтобы задать выборку, достаточно указать лишь варианты и их частоты.

Выборку в последнем примере зададим с по­мощью вариационного ряда частот.

хi	2	3	4	5
ni	3	2	1	4

Если вместо n_i указывать относительные частоты = n_i/n, то можно составить вариационный ряд относительных частот.

хi	2	3	4	5
wi	0,3	0,2	0,1	0,4

5. Выборочные числовые характеристики.

По выборке по одному признаку Х можно вычислить выборочные числовые характеристики:

- выборочное среднее;

- выборочная дисперсия;

- выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочное среднее можно найти по выборке

в случае задания выборки с помощью простого вариационного ряда.

характеризует среднее значение признака Х во всей генеральной совокупности.

В нашем примере:

= (2+3+4+5+2+3+2+5+5+5)/10 = 3,6 (балла) - средняя успеваемость ученика по предмету.

Для нахождения дисперсии могут использоваться раз­личные формулы в зависимости от способа задания выборки. Обычно ис­пользуют следующую формулу:

, где

- выборочное среднее признака Х,

- выборочное среднее квадрата признака X.

В случае простого вариационно­го ряда:

.

Найдём и для нашего примера:

,

,

(балла).

Выборочные числовые характеристики , характеризуют разброс значений признака Х во всей генеральной совокупности: чем больше или , тем больше разброс.

При малых объёмах выборки (n  30) выборочные , «ис­правляют», т.е. берут исправленные характеристики:

,

.

В нашем примере n  30, поэтому:

; .