19. Полезность и благосостояние. Функция Бернулли. Теория Неймана и Моргенштерна. Аксиомы выбора.

В любой деятельности человек сталкивается с необходимостью выбора из нескольких альтернатив. Всегда существует лимит ресурсов, которые он может потратить. Следовательно, он должен от чего-то отказываться, и чтобы понять - от чего именно, нужно определить полезность каждой из альтернатив.

Различают субъективную (англ. cardinal utility — количественная полезность - кардиналистский подход) и объективную (англ. ordinal utility — порядковая полезность - ординалистский подход) полезности.

Объективная полезность — это полезность, которая не может измеряться или сравниваться. Например, полезность воды в реке или песка в пустыне для потребителя не может быть измерена.

Субъективная полезность — это полезность, которая может измеряться, например деньгами, или сравниваться. Например, при потреблении потребителем первого яблока, оно даёт ему самый высокий уровень полезности, второе яблоко даёт меньший уровень полезности, нежели первое. Третье и четвёртое яблоки не дают никакой полезности потребителю или никакого удовлетворения от их потребления, поскольку потребление третьего и четвёртого яблок сразу после первого и второго является чрезмерным для потребителя (Закон убывающей предельной полезности:

по мере удовлетворения поребностей в каком-либо благе степень полезности каждой дополнительной единицы блага для данного индивила будет убывать;

Предельная полезность - прирост общей полезности, возникающий вследствие увеличения объема потребления данного блага на единицу, или полезность последней из имеющихся в распоряжении индивида единиц блага. )

Функция Бернулли

Как считает Бернулли, богатство (благосостояние) не ограничивается имуществом человека. Оно вклю­чает его будущие доходы.

Бернулли исходит из утверждения, что предельная полезность богатства обратно пропорциональна величине богатства, т. е.

U(w) = k ln w, - убывающая ф-ия полезности капитала

где w — величина богатства, U(w) — его полезность, рассматриваемая как функция величины богатства, k — коэффициент пропорциональности, определяющий единицу полезности (здесь и далее используются современные обозначения). Отсюда выводится выражение для функции полезности:

Парадокс Бернулли (Санкт-Петербургский парадокс): Несмотря на ожидаемую высокую полезность люди не рискуют.

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 2⁰, при втором броске — 2¹ и так далее: при n-ном броске — 2^n-1. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша, однако люди совсем не обязательно вступят в игру.

Вариант разрешения парадокса — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания.

Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности, то есть хочет максимизировать ln

(X/X₀) где X - выигрыш, а X₀ - вклад. И тогда мат. ожидание полезности становится конечным.

U1 (W) = exp (W) - возрастающая функция полезности утраченного капитала

Однако порядковая теория полезности описывала потребительский выбор лишь в условиях полной определенности, когда принимающий решение индивид точно знает, к каким последствиям это решение приведет. Создатели современной теории риска Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн, отправляясь от статьи Даниила Бернулли, строят аксиоматическую теорию поведения потребителя, встретившегося со случайностью. Центральная аксиома этой теории состоит в том, что потребитель в состоянии сравнивать по полезности не только определенные наборы благ, но и «лотереи», исходом которых являются наборы благ, получаемые с определенными вероятностями.

Теория Неймана-Моргенштейна рассматривает каждое решение как субъективное, утверждая, что каждый ЛПР (лицо, принимающее решение) руководствуется своими мыслями о полезности как приобретенного, так и утраченного капитала.

вероятность 80 - выигрываем 40

вероятность 20 - проигрываем 20 долларов

40*0,8 - 20*0,2 = 28 - математическое ожидание

продадим билет за 28 долларов или больше

выигрыш 1 000 000 долл. - 100%

или

выигрыш 2 100 000 долл - 50%

проигрыш 50 000 долл. - 50%

стоимость рисковой игры равна математическому ожиданию

Методология принятия рационального решения, основанная на ф-и полезности, опирается на следующие аксиомы, которые отражают набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игроков:

(если мы рассматриваем игру, где ЛПР с вероятностью α получает денежную сумму х и с вероятностью 1 - α денежную сумму z - то это игра G(x,z:α ).)

I) Об упорядоченности исходов: для всего множества S возможных исходов индивид может сказать всегда, какой исход для него предпочтительнее. Записывается это так:

если x предпочтительнее y, то x> y

если наоборот, то y > x II) О транзитивности: если 1й исход предпочтительнее 2го, а 2й предпочтительнее 3го, то 1й предпочтительнее 2го. III) О вполне определённом исходе: даже если возможен совершенно нежелательный исход, но существует очень предпочтительный, то выбор этого пути вполне объясним. IV) О подстановочности: при замене исхода на синонимичный ему, цена (предпочтительность) исхода не изменится. V) О редукции сложных ставок: когда один или несколько из возможных исходов сами являются лотереями исходов. VI) О непрерывности: влияние вероятности определенного исхода прямо влияет на его предпочтительность.