1.2.2 Структурная схема двухмассовой механической системы, как звена входящую в более сложную систему. Преобразования структурных схем

Предположим, что двухмассовая механическая система входит как звено в более сложную систему. В этом случае необходимо определить передаточную функцию всей двухмассовой механической системы, для чего необходимо произвести операцию сворачивания структурной схемы или агрегирования. Произведём эту операцию со структурной схемой системы, представленной на рис.4, приняв:

.

Тогда:

.

Рис.5 Преобразованная структурная схема двухмассовой механической системы в переменных «входы-выходы»

Отсюда получим передаточную функцию:

.

1.2.3 Метод пространства состояния. Представление двухмассовой системы в переменных состояния

Наряду с представленной моделью в переменных «входы-выходы», в которой используются передаточные функции отдельных звеньев и построенные из них структурные схемы, в настоящее время для моделирования сложных систем используют метод «пространства состояний».

В математическом описании метода присутствуют не только входные воздействия и выходные переменные, но и внутренние промежуточные переменные, число которых равно числу дифференциальных уравнений входящих в систему, которые и называются переменными состояния. Все эти переменные образуют структуру, представленную на рис.6, где:

- входные переменные;

- входные переменные;

- переменные состояния.

Рис.6 Структурная схема метода переменных состояния

В общем виде решения задачи для любой системы в переменных состояния сводится к решению системы 2-х уравнений:

Структурная схема данной системы представлена на рис.7.

Рис.7 Структурная схема системы в переменных состояния

В данной структурной схеме введены следующие обозначения.

1. - вектор состояния системы.

- число уравнений.

- соответственно для каждого из уравнений переменная, выраженная в каждом из уравнений в качестве входных

2. - вектор входных переменных

- число входных переменных

3. -вектор выходных переменных

- число выходных переменных

4. - матрица промежуточных переменных или параметрическая матрица, которая представляет собой матрицу коэффициентов при переменных состояния.

Номер строки - номер уравнения. Номер столбца - номер переменной состояния.

5. - входная матрица системы представляет собой матрицу коэффициентов перед входными переменными.

Номер строки - номер уравнения. Номер столбца - номер переменной.

6. - выходная матрица системы - параметрическая матрица.

Номер строки - номер выходной переменной. Номер столбца - номер уравнения.

7. - проходная матрица - матрица коэффициентов перед членами уравнений связи между входными и выходными величинами.

Для 2-х массовой механической системы имеем следующее решение.

, , , , .

Уравнения (4) - (6) относительно производных:

, , , , .

, ,

, ,

,

В итоге:

(10)

Рис.8 Структурная схема двухмассовой механической системы в переменных состояния