73

Лекция 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Вопросы, три группы:

Cлучайные величины и их характеристики

1. Определения и обозначения

2. Дискретные и непрерывные случайные величины

3. Общая характеристика законов распределения

4. Числовые характеристики случайных величин

Моменты статистического распределения

Числовые характеристики

5. Свойства числовых характеристик случайных величин

Свойства математического ожидания

Свойства дисперсии случайных величин

6. Нормированная (стандартизованная) случайная величина

Системы случайных величин и их характеристики

1. Характеристика законов распределения системы случайных величин

2. Зависимость между случайными величинами

Математическая статистика в геоэкологических исследованиях

1. Основные задачи математической статистики

2. Генеральная совокупность и выборка

3. Статистические характеристики

Статистический ряд

Статистическая совокупность (статистический ряд распределения). Гистограмма (статистический многоугольник распределения)

Эмпирическая (статистическая) функция распределения и функция обеспеченности

3.1. Случайные величины и их характеристики

1.1. Определения и обозначения

Cлучайная величина - величина, которая в результате испытания может принимать различные значения в зависимости от случайного исхода испытания.

Важно, что, зная п предшествующих значений случайной величины, мы не можем сказать какое из возможных значений примет ее п+i значение, где i может быть равно 1,2 и т. д.

Случайные величины могут быть одномерными и многомерными.

Одномерная случайная величина – величина, которая в результате испытания может приобретать только одно возможное значение

Многомерная случайная величина – величина, которая в результате испытания может принимать два и более возможных значения

Одномерная случайная величина, обозначается прописной латинской буквой X, Y и т. д.

Последовательность значений случайной величины, принимаемая ею в результате опыта, обозначают строчными буквами с индексом х₁, х₂, . . ., х_п, где 1, 2, ..., п — номер испытания.

Например, процесс изменения годовых сумм осадков X в каком-то конкретном пункте за имеющийся период наблюдений в п лет может быть представлен последовательностью значений х₁, х₂, . . ., х_п, или в другой записи x_i (i = 1, 2, .. ., п).

Пример многомерной случайной величины: распределение дождевых осадков в каком-то районе. Здесь имеется т пунктов наблюдений с периодом наблюдений п лет.

Ряд наблюдений в первом пункте: х₁₁, х₁₂, . . .. х_1п или х_1i (i = 1, 2, . . ., п); соответственно в j-м пункте: x_j1, x_j2, …, x_jn или х_п (i = 1, 2, . .,, n) и в m-м пункте x_m1, x_m2, . . ., x_mn или x_mi (i = 1, 2, ..., n).

То есть, в общем виде осадки в каком-то районе могут быть представлены в виде таблицы:

x ₁₁ x₁₂ … x_1i … x_1n

x ₂₁ x₂₂ … x_2i … x_2n

……………………… (3.1)

x _j1 x_j2 … x_ji … x _jn

_{....................................................}

x _m1 x_m2 … x_mi x_2n ,

которая называется матрицей наблюдений.

В краткой записи данные этой таблицы обозначаются

(3.2)

3.1.2. Дискретные и непрерывные случайные величины

Различают два типа случайных величин: непрерывные и дискретные.

Непрерывная случайная величина – величина, которая может принимать любые численные значения в некотором диапазоне.

Дискретная случайная величина – величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений.

На практике непрерывные случайные величины, учитывая точность измерений и необходимые округления, часто заменяются дискретными.

Пусть одномерная дискретная случайная величина X имеет к возможных значений ζ₁, ζ₂, …, ζ_к. События, в результате которых X примет каждый раз одно и только одно из возможных значений ζ _i (i = 1, 2, . . ., к), являются несовместными (никакие два из них не могут появиться вместе) и образуют полную группу событий (в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них). Каждое из этих событий возможно, но не достоверно, т. е. X может принять каждое из них с какой-то вероятностью р. Обозначим вероятность события X = ζ_i , т. е. р(Х= ζ_i ), через р_i . Так как множество всех несовместных событий образуют полную группу, то

(3.3)

т. е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.

Считается, что случайная ве­личина полностью описана с вероятностной точки зрения, если задана вероятность каждого из ее возможных значений. Этим устанавливается так называемый закон распределения случайной величины.