Анализ погрешностей расчетов по уравнению регрессии

В результате расчетов по уравнениям регрессии (1.20) на основе принципа наименьших квадратов получают оценки Y — (x). Фактические значения Y — могут отличаться от этих оценок, причем тем больше, чем меньше теснота связи между Y и X и объем сопоставляемых выборок п. Таким образом, оценка Y по X всегда сопровождается погрешностями,

во-первых, за счет аппроксима­ции стохастической связи прямой линией, отображающей зависимость У от X;

во-вторых, за счет выборочности исходных данных, вследствие чего в уравнениях регрессии (1.6) вместо действительных (генеральных) значений коэффициентов а и b используются их оценки и . Общая погрешность расчетов Y по уравнению регрессии в этом случае может быть охарактеризована дисперсией

(1.35)

где — средняя квадратическая погрешность определения Y по X; — средняя квадратическая погрешность аппроксимации стохастической связи прямой линией; — средняя квадратическая погрешность определения при данном х.

Предположим, что по рядам бесконечной продолжительности нами получены фактические значения параметров уравнения ре­грессии. Тогда средняя квадратическая погрешность расчетов у по х определяется по формуле (1.9).

Подставим в формулу (1.9) значение , определенное по формуле (1.22):

		(1.36)

Отсюда

(1.37)

Следует отметить, что анализ остатков или погрешностей расчетов у по х-Δ_i= у_i - является одним из методов проверки адекватности математической модели линейной регрессии. В частности, для этого используются графики Δ_i в зависимости от x_i или . Если остатки попадают в горизонтальную полосу с центром на оси абсцисс, то модель можно рассматривать как адекватную (рис. 1.8а).

Рис.1.8. Примеры графиков остатков (погрешностей расчетов)

а – адекватная модель, б – гетероскедастичная модель, в – неучтена линейная независимая переменная, г – неучтена квадратическая независимая переменная

Если полоса расширяется, когда х или у (х) возрастает (см. рис. 1.8 б), то это указывает на гетероскедастичность связи, т. е. на отсутствие постоянства дисперсии σ²_Δ в зависимости от , что делает необходимым преобразование пе­ременной у. График, показывающий линейный тренд (см. рис. 1.8 б), дает основание для введения в модель дополнительной переменной. График, представленный на рис. 1.8 г, показывает, что в модель должен быть добавлен линейный или квадратический член.

Дальнейшее обсуждение и анализ этих вопросов содержится в монографиях [6, 29 и др.].

1.2.4. Граничные условия математической модели парной корреляции

Многолетний опыт использования модели парной корреляции показал, что для корректного использования регрессионной математической модели необходимо выполнение ряда условий.

1. Связь между сопоставляемыми рядами должна быть линейной.

Условие следует непосредственно из того, что уравнения регрессии (1.22) получены нами исходя из уравнения прямой линии (1.6). Часто выполнение этого условия наглядно проверяется по графику зависимости Y = f(X). Однако при малых коэф­фициентах корреляции или небольших объемах выборки этот прием оказывается неэффективным, так как картина связи носит размытый характер. В этом случае используется какой-либо дру­гой вид контроля на последующих этапах гидрологического анализа. В частности, если коэффициент корреляции недостаточно велик, следует попытаться использовать различные приемы линеаризации связи. Если при этом коэффициент корреляции значи­тельно увеличивается, то можно считать, что связь имела криволинейный характер, и форма ее описывается формулой, использованной для линеаризации.

Если связь имеет криволинейный характер, то для расчетов можно использо­вать те или иные преобразования исходной информации, ведущие к линеаризации связи. Например, зависимости вида

(1.44)

путем логарифмирования могут быть преобразованы к линейному виду:

В таблице … приводится достаточно полная таблица возможных преобразований, применяемых для линеаризации связи, заимствованная из монографии [52]. Некоторые из них, например, логарифмирование, ведут также к частичной нормализации исходной информации.

При использовании названных преобразований необходимо об­ратить внимание на следующие обстоятельства [6, 52]:

— если переменные Y и X преобразованы, то параметры уравнения регрессии находятся не по минимуму среднего квадрата погрешности определения зависимой переменной Y, а по минимуму среднего квадрата погрешности определения преобразованной величины U(Y). Например, в случае логарифмического преобразования минимизация ведется относительно среднего квадрата погрешности определения логарифмов исходного ряда, т. е.

Поэтому независимо от того, какое преобразование используется, для линеаризации возникает необходимость введения поправок, чтобы избежать смещения.

Так, в случае логарифмического преобразования необходимо в любых оценочных зависимостях увеличивать остаточную дисперсию в 1,15 раза.

2. Сопоставляемые переменные должны подчиняться нормаль­ному закону распределения.

При выводе уравнения регрессии (1.22) использовался прин­цип наименьших квадратов. В математической литературе, на­пример в работах [13, 18], доказывается, что корректное использование принципа наименьших квадратов предполагает нормальное распределение сопоставляемых величин. Проиллюстрируем это требование.

1. На основе принципа наименьших квадратов параметры урав­нения регрессии определяются с ориентиром на средний квадрат погрешностей расчета, т. е. погрешности расчета принимаются одинаковыми для всех значений Y или X, что верно только для нормального распределения. Пусть, например, Y имеет положительную асимметрию (0<Y<∞), а средний квадрат погрешности равен . Тогда действительные значения Y при данном X могут быть равны -t_αS₀*. Отсюда следует, что при < t_aS₀ могут быть получены отрицательные значения Y, но это противоречит начальному условию, что Y заведомо положительно. Таким образом, ориентирование на средний квадрат по­грешности, а следовательно, и использование принципа наимень­ших квадратов при асимметричном законе распределения некорректны и результаты расчетов по уравнению регрессии носят заведомо приближенный характер.

2. Положительная асимметрия пред­полагает, что количество малых значений в любой выборке существенно больше, чем больших, которых может быть вообще очень мало. При этом несколько или даже одно большое значение оказывают значительное влияние на наклон линии регрессии и коэффициенты корреляции.

Рис. 1.9. График связи стока с осадками с учетом (1) и без учета (2) экстремальной величины.

В этом случае применение рассматриваемой регрессионной модели может привести к неопределенным результатам. Так, на рис. 1.9 приводится пример взаимосвязи двух процессов: сток Y и осадки X. Если включить все наблюдения, то сток хорошо коррелируется с осадками (r = 0,191, σ_r = 0,08, коэффициент веса а = 6,04). Если же исключить из расчетов максимальный паводок, то корреляционная связь резко нарушится (r = 0,310, σ_r =0,20, коэффициент веса а= 1,59).

При этом в первом случае, когда учитываются экстремумы, значения стока выше среднего получаются в 2 – 3 раза чаще, чем во втором случае при исключении одного паводка. Таким образом, учитывая асимметричность рядов наблюдений при построении уравнения регрессии, необходимо проводить тщательный анализ данных за расчетный период и репрезентатив­ности его по отношению к максимальным значениям. В частности, в данном случае было бы необходимо провести изучение ливней по всему району.

Однако в расчетах регрессионная математическая модель нередко используется и для рядов с асимметричным распределением. Естественно, что при этом в расчеты вносятся определенные погрешности, которые тем больше, чем больше асимметрия. Как показали расчеты, при C_s ≥2C_v и C_v ≥ 0,5 по­грешности могут быть настолько велики, что использование данной модели: уже неэффективно.

3. Связь между рядами Y и X должна быть стационарной, т. е. теснота связи и коэффициенты регрессии не должны существенно меняться с изменением объема выборки или от выборки к выборке.

Проверка этого условия представляет известные трудности, поэтому чаще всего на практике не проводится. Между тем уже неоднократно встречались случаи, когда связи, установленные по имеющимся рядам наблюдений, с течением времени весьма значительно менялись, вплоть до изменения знака связи на обратный. Один из возможных путей проверки стационарности связи заключается в определении параметров уравнения регрессии по различным выборкам из имеющихся рядов наблюдении Y и X и проверки их равенства (см. разд. 1.2.3), исходя из нулевой гипотезы, допустим,

H₀:r₁ = r₂

где r₁ - коэффициент корреляции по одним выборкам значений Y и X, а r₂ - по другим. При больших коэффициентах корреляции необходимо воспользоваться преобразованием Фишера.

В практике расчетов по различным причинам граничные условия часто не выполняются или выполняются не полностью. К сожалению, нередко их выполнение вообще не проверяется. Следует помнить, что в этом случае применение регрессионной модели в исследовании данных процессов недостаточно оправдано и результаты расчетов носят приближенный характер; использование их при анализе взаимосвязей в некоторых случаях может привести к серьезным погрешностям.