10. Модель транспортной задачи линейного программирования.

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Формулировка транспортной задачи Однородный груз сосредоточен у k поставщиков в объемах a 1 , а2,..., а k. Данный груз необходимо доставить и потребителям в объемах b1, b2, ..., bn. Известны сiji= 1, 2, ..., k и  j = 1, 2, ..., n — стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны. Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблицу –

	b 1	b 2	…	bn
a 1	с 11	с 12		с 1n
a2	с 21	…		с 2n
…	…	…	…	…
ak	с k1	…	…	с kn

Исходные данные задачи могут быть представлены также в виде вектора запасов поставщиков А = (a₁, а₂,..., а_k), вектора запросов потребителей В= (b₁, b₂, ..., b_n) и матрицы стоимостей C={с_ij}

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т.п.

1. Математическая модель транспортной задачи

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij ..,i-(=1,2, ..., k), j= 1,2, ..., n — объемы перевозок от каждого i -го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные можно записать в виде матрицы перевозок: или

	a 1	a2	…	an
b 1	x 11	x 12		x 1n
b 2	x 21	…		x 2n
…	…	…	…	…
bk	x k1	…	…	x kn

Так как произведение c_ijx_ij . определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из k уравнений описывает тот факт, что запасы всех k поставщиков вывозятся полностью:

Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех nпотребителей: Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так: В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е. Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель — закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой. Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные X =(x_ij ) задачи удовлетворяющие системе ограничений: условиям неотрицательности и обеспечивающие минимум целевой функции. Математическая модель транспортной задачи может быть записана в векторном виде. Для этого рассмотрим матрицу A системы уравнений-ограничений задачи.

Сверху над каждым столбцом матрицы указана переменная задачи, коэффициентами при которой являются элементы соответствующего столбца в уравнениях системы ограничений. Каждый столбец матрицы A, соответствующий переменной х_ij.., является вектором-условием задачи и обозначается через A_ij. Каждый вектор имеет всего k+ n координат, и только две из них, отличные от нуля, равны единице. Первая единица вектора A_ij стоит на i-м месте, а вторая - на (k+j)-м  месте, т.е.

Таким образом в векторной форме задача будет выглядеть так: Пример. Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:

	20	30	40
40	3	5	7
50	4	6	10

Решение. Введем переменные задачи (матрицу перевозок)

x11	x12	x13
x21	x22	x23

Запишем матрицу стоимостей

Целевая функция задачи равна сумме произведений всех соответствующих элементов матриц С и X: F(X )=3 x ₁₁ +5 x ₁₂ +7x₁₃+4x₂₁+6x₂₂+10x₂₃. Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки, должна достигать минимального значения. Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в первой строке матрицы X, должна равняться запасам 1-го поставщика, а сумма перевозок во второй строке матрицы X — запасам 2-го поставщика. Следовательно: x₁₁  + x ₁₂ + x ₁₃ = 40;       и х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 50. Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью. Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы X, должны быть равны запросам соответствующих потребителей: x₁₁  + x ₂₁ = 20; x ₁₂ + x₂₂= 30; и х₃₁ + х₃₂ = 40. Это означает, что запросы потребителей удовлетворяются полностью. Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть отрицательными: х _ij ≥ 0 , i = 1, 2,    j= 1,2,3. Следовательно, математическая модель рассматриваемой задачи такова: найти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции:

и удовлетворяющие системе ограничений

\2

и условиям неотрицательности х _ij ≥0, (i= 1, 2;    j=l,2,3 ). Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи □ Теорема 6.1. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей: т.е. задача должна быть с правильным балансом. Доказательство . Необходимость. Пусть задача имеет допустимое решение

Докажем, что . Подставив X⁰ в уравнения системы огра ничений (6.2), (6.3), получим Просуммируем первую и вторую группы тождеств по отдельности: Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение. Сначала покажем, что область допустимых решений задачи – непустое множество. Легко проверить, что

является допустимым решением. Подставив X ⁰ в левые части уравнений получим

т. е. уравнения обращаются в тождества. Очевидно, что  X ⁰  удовлетворяет и условиям неотрицательности. Далее покажем, что существует оптимальное решение. Учитывая, что стоимости перевозок  единиц груза ограничены сверху и снизу  C≤c_ij≤ D;      i=1,2,…,k;        j=1,2,…,n, где C и D — конечные постоянные, можно записать

X &..

Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция, достигает своего наименьшего (а также и наибольшего) значения. Теорема доказана полностью. Свойство системы ограничений транспортной задачи □ Теорема 6.2. Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен N = k+ n- 1. Доказательство. Как известно из линейной алгебры для нахождения базиса системы векторов A₁А₂, ..., А_n необходимо составить однородную систему уравнений A₁ x ₁ +А₂ x ₂ + ... А_n x ₂ = θ. (здесь θ - нулевой вектор) Эту систему с помощью преобразований Жордана приводят к равносильной разрешенной; в базис включают векторы, соответствующие разрешенным неизвестным. Ранг системы векторов равен числу векторов, входящих в базис, т.е. числу разрешенных неизвестных этой системы. Системе векторов-условий транспортной задачи A_ij., i = 1, 2, ..., k;    j = 1, 2, ..., n соответствует однородная система уравнений где θ = (0, 0, ..., 0) ^T — нулевой вектор (транспонированный). Запишем матрицу этой системы (она является также матрицей системы ограничений транспортной задачи): Если к последней строке (уравнению) прибавить ( n - 1) строку (уравнение), начиная с (k + 1)-й, и вычесть первые k строк, то получится строка, состоящая из нулей. Это значит, что число разрешенных неизвестных в этой системе и ранг r системы векторов-условий не могут быть равны числу k + n уравнений. Следовательно, r< k+ n- 1. Покажем, что найдутся N = k + n - 1 линейно независимых векторов-условий.   Из векторов-условий задачи выберем следующие: A _{1 n} А_{2 n} , ..., А_kn A ₁₁ А₁₂, ..., А_{1( n -1)}  и убедимся, что они линейно независимы. Для этого составим систему уравнений A_1n x _{1 n}+А_2nx_2n+…+ A_kn x_kn +А₁₂ x ₁₂ + ... А_1(n-1) x _{1( n -1)} = θ.

т

Матрица этой системы, как легко показать, приводится к единичной. Следовательно система уравнений имеет единственное нулевое решение x_1n= x_2n= … = x_kn = x₁₁= x₁₂=…= x_1(n-1)=0,а система векторов линейно независима. Теорема доказана.