1.4 Графическое представление выборки. Полигон, гистограмма, кумулята

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и кумулятой).

В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из “принимаемых” значений x_i проводят перпендикуляры, длины которых пропорци-ональны частотам m_i, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов. Лучше в качестве длин перпендикуляров брать относительные частоты m_i/n. Форма графика сохранится, но мы получаем возможность сравни-вать две выборки разного объема.

Пример 1.7. Полигоны числа неправильных соединений в минуту, построенные по таблицам к примеру 1.4 (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1

Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной m_i. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной еще соединить с серединами соседних интервалов, частоты кото-рых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.

Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпири-ческой функции распределения.

При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискрет-ного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соеди-няются между собой с помощью прямолинейных отрезков.

Проще всего показать на конкретном примере, как строятся эти графики.

Пример 1.8.

Распределение продавцов по выработке представлено в таблице 1.7.

Таблица 1.7.

Выработка продавцов	Число продавцов	В процентах к итогу	Кумулятивная (накопленная) численность	Накопленная относительная частота
80-100	5	10	5	0,1
100-120	10	20	15(5+10)	0,3
120-140	20	40	35(15+20)	0,7
140-160	10	20	45(35+10)	0,9
160-180	5	10	50(45+5)	1
Итого	50	100

Рисунок 1.2

На оси Y могут откладываться не количества, а проценты, или проценты, деленные на константу, например, относительные частоты. Вид графика от этого не изменится (рисунок 1.2).

Так, построенная гистограмма позволяет сравнивать два распределения, имеющие разный объем (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

В нашем примере длины интервалов одинаковые. В данном случае при построении гистограммы можно изображать прямоугольники с высотой m_i. Если длины интервалов разные, то при построении гистограммы это надо учитывать. Например, все интервалы имеют длину 10, кроме крайнего, который имеет длину 50 (весь хвост объединен в один интервал). Все попавшие в него данные можно мысленно разбить на 5 одинаковых частей, каждая из которых попала бы в свой интервал длины 10. Следовательно, высота прямоугольника над этим интервалом длины 50 должна браться в 5 раз меньше, чем его частота m, или относительная частота m/n. Лучше всего в качестве высоты прямоугольника брать величину , где d_i – длина интервала. Часто в таблицах крайние интервалы указываются в форме: “менее х₁” или “свыше x_n”. В этом случае их условно заменяют на интервалы той же ширины, что и соседние.