1 Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Выписать заданные значения, объем выборки и нужную формулу для получения точечной оценки

Задана выборка:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇

10, 3, 5, 12, 11, 7, 9.

n = 7;

- формула для среднего

– формула для дисперсии

- среднеквадратическое отклонение

2

Сосчитать значение оценки

Надои

3000-3400

3400-3800

3800-4200

4200-4600

4600-5000

Число коров

43

71

102

64

27

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Выписать заданные значения, объем выборки и нужную формулу для получения точечной оценки

Составляем таблицу числа наблюдения значений

x_i 3200 3600 4000 4400 4800

m_i 43 71 102 64 27

n = 307

– выборочное среднее

– выборочная дисперсия

- выборочное среднеквадратическое отклонение

2

Сосчитать значение оценки

Время обработки

в минутах

3,6-4,2

4,2-4,8

4,8-5,4

5,4-6,0

6,0-6,6

Число рабочих

14

33

35

12

6

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Сосчитать выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение

Составляем таблицу числа наблюдения значений

x_i 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3

m_i 14 33 35 12 6

n = 100

– выборочное среднее,

Выписать нужную формулу доверительного интервала (если не известно истинное)

в данном случае ;

– выборочная дисперсия, в данном случае S² = 0,38;

– выборочное среднеквадратическое отклонение, в данном случае  = 0,62.

Доверительный интервал для истинного среднего времени обработки детали:

.

 = 0,95, t_99;0,95 находим в таблице 6 для распределения Стьюдента (при таком n можно воспользоваться таблицей 5 для нормального распределения)

2

Пользуясь таблицами 5 или 6, вычислить границы требуемого в задании интервала; выписать полученный доверительный интервал

t_99;0,95 = 2

4,76 <  < 5

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Вычислить оценку для p

n = 100;

2

Найти доверительный интервал для p

(применили формулу для повторной выборки – с возвратом).

Подставив n и p, получаем

0,06 < p < 0,2

3

В случае, когда требуется, проверить гипотезу; сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом

С вероятностью 0,95 выполняется: .

Требуемая точность 0,01; следовательно,

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Вычислить оценку для p

N = 2000; n = 400;

2

Найти доверительный интервал для p

применили формулу для бесповторной выборки (без возврата)

3

В случае, когда требуется, проверить гипотезу; сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом

Следовательно, должно выполняться:

.

Подставляем наши данные:

. Соответствующее такому k_ значение вероятности  находим в Таблице 4 функции Лапласа Φ(х):  = 0,994.

С вероятностью 0,994 выполняется:

р < 0,03

Завод № 1

Завод № 2

Средний балл

71

76

Стандартное отклонение

5

6

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму

1

Выписать из условия задачи данные о выборке. Сосчитать оценки для среднего и дисперсии

n = 40; m = 40;  = 0,05

2

Сформулировать проверяемую гипотезу в вероятностных терминах. Выписать формулу статистики, вычисляемой по выборке. Выписать число степеней свободы N для распределения статистики. Подставить в формулу статистики данные выборки

Проверяется гипотеза о том, что _x = _y, когда альтернативной гипотезой является гипотеза _x < _y

(вариант 2с). Пользуемся статистикой , N = 78. Вычисляем значение статистики:

3

Выписать критическую область и с помощью таблиц найти границы критической области для статистики, с помощью которой будет проверяться гипотеза

Критическая область для проверки гипотезы:

T < –tN; (tN; отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,  в нижней строке).

Если вычисленное значение попадет внутрь интервала [–,–1,66], то гипотеза Н₀ не пройдет, а пройдет интересующая нас гипотеза Н₁

4

Сформулировать вывод, требуемый в задаче

–4 < –1,66, следовательно, значение статистики попало в критическую область и проходит не основная, а альтернативная гипотеза о том, что изделия завода № 1 хуже изделий завода № 2, (это практически достоверно)

Варианта х_i

-2

1

2

3

4

5

Частота m_i

10

5

10

10

10

5

№

п/п

Новые понятия

Содержание

Метод сплошных наблюдений

метод статистического обследования, при котором производится измерение всех элементов совокупности

Выборочный метод

метод статистического обследования, при котором из совокупности выбирают ограниченное число объектов и их подвергают изучению; применяется, когда количество объектов велико или сплошное обследование невозможно в силу того, что обследование может привести к уничтожению объекта (например, чтобы узнать качество консервов, банку надо вскрыть), то есть когда не хотят проводить полное обследование объекта

Непрерывно распределенная величина

случайная величина , для которой существует неотри-цательная функция f(x), такая что для любого интервала (а,b)

Плотность распределения вероятностей

функция f(x) (см. п. 3 Глоссария)

Генеральная совокупность

множество всех изучаемых объектов

Выборка (выборочная совокупность)

совокупность объектов, отобранных для исследования из генеральной совокупности

Репрезентативная выборка

выборка, которая производится так, что все объекты гене-ральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку

Повторная выборка (выборка с возвратом)

такая выборка, для которой раз отобранный в выборку объект возвращается в генеральную совокупность и, следовательно, может быть отобран повторно

Бесповторная выборка (выборка без возврата)

такая выборка, для которой отобранный в выборку объект назад в генеральную совокупность не возвращается

Вариационный ряд

значения, которые приняла случайная величина  в n наблюдениях, записанные не в порядке получения, а в порядке возрастания, то есть упорядоченная выборка

Накопленная частота

показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением наблюдаемого признака, меньшим х

Накопленная относительная (эмпирическая) частота значения х

отношение накопленной частоты значения х к общему числу наблюдений

Частота варианта

числа для каждого полученного значения (варианта) – результат подсчета того, сколько раз значение встретилось в ряде наблюдений

Размах вариационного ряда

расстояние x_max – x_min между крайними членами вариационного ряда

Относительная (эмпирическая) частота значения x_i

отношение m_i/n, где n – объем выборки, а m_i – число повторения значения x_i в выборке

Группировка

состоит в том, что область на оси x, куда попали значения x₁,...,x_n, разбивают на интервалы I₁,...,I_k и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый интервал. Самый простой способ группировки – округление данных

№

п/п

Новые понятия

Содержание

i-ая интервальная частота

число выборочных значений, попавших в i-й интервал группировки

i-ая относительная (эмпиричес­кая) интервальная частота

отношение i-й интервальной частоты к объему выборки

Интервальный вариационный ряд

вариационный ряд, представленный таблицей, построенной с помощью процедуры группировки

Таблица статистического распределения выборки

таблица из двух строк, в верхней строке которой указаны в порядке возрастания наблюдаемые значения (для интерва-льного ряда – середины интервалов группировки), а в нижней – соответствующие им относительные частоты. Она задает статистическое (или эмпирическое) распределение выборки

Полигон для дискретных вариационных рядов

графическое изображение вариант, которое строится так: на оси абсцисс откладывают принимаемые признаком значения x_i; из значений x_i проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны значениям m_i, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых

Полигон для интервальных вариационных рядов

графическое изображение вариант, которое строится по гистограмме интервального вариационного ряда следующим образом: середины верхних сторон прямоугольников гистограммы соединяют отрезками прямых. Крайние точки этой ломаной соединяют с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, так чтобы площадь, ограниченная полигоном и осью X, была равна 1

Гистограмма

графическое изображение эмпирической плотности, строится для группированных выборок следующим образом: в случае одинаковых интервалов d_i на каждом из интервалов значений как на основании строят прямоугольник с высотой, пропорциональной m_i; если длины интервалов d_i разные, то на каждом из интервалов значений как на основании строят прямоугольник с высотой, пропорциональной m_i/d_i – количеству, приходящемуся в этом интервале на единицу интервала; если высоты прямоугольников сделать равными m_i/d_i/n, то гистограмма изображает эмпирическую плотность

Кумулята

график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения

Мода

для дискретного вариационного ряда – значение x_m, эмпирическая вероятность m_i/n которого максимальна; для сгруппированного ряда входит в интервал, у которого эмпи-рическая вероятность m_i/n максимальна; находится графически по гистограмме или с помощью линейной интерполяции

Медиана

середина распределения, т.е. такая точка, для которой половина принимаемых значений распределения лежит слева от нее, а половина справа. В случае группированного вариационного ряда эмпирическая медиана делит площадь гистограммы пополам

Сходимость случайной величины по вероятности к некоторому значению

означает, что, несмотря на увеличение числа испытаний, могут встретиться значения случайной величины, довольно сильно отличающиеся от предельного значения, но процент таких испытаний будет с ростом n уменьшаться (вероятность отклонения от предела с ростом n стремится к 0)

Статистика

любая функция (x₁,...,x_n), зависящая от выборки, и поэтому являющаяся случайной величиной

№

п/п

Новые понятия

Содержание

Точечная оценка параметра

оценка параметра в виде числа – точки на координатной оси

Математическое ожидание

‘‘средневзвешенное’’ значение случайной величины M() = a

Дисперсия случайной величины 

математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

Среднеквадратическое отклонение

характеристика распределения, равная корню из дисперсии

Правило трех  (сигм)

практически достоверно то, что нормально распределённая величина примет значение, отличающееся от её математи-ческого ожидания по модулю не более чем на 3, иначе говоря, “практически невозможно” появление значения, выходящего за пределы этого интервала

Состоятельная оценка параметра

оценка, которая при увеличении объёма выборки сходится по вероятности к истинному значению параметра

Несмещенная оценка параметра

оценка, математическое ожидание которой по всевозможным выборкам данного объёма равняется истинному значению определяемого параметра

Метод моментов

метод получения оценок параметров, который состоит в том, что если оцениваемый параметр распределения является функцией от моментов распределения (в самом простом случае сам является моментом), то в эту функцию подставляются эмпирические значения моментов и полученное значение берется в качестве оценки для параметра (например, оценкой для математического ожидания является – эмпирический первый начальный момент, оценкой для дисперсии – эмпирический второй центральный момент)

Доверительным интервалом с уровнем доверия 

интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью  ( – доверительная вероятность)

Критическая область

область, при попадании в которую значения статистики крите-рия, сосчитанной по выборке, основная гипотеза отвергается. В случае, когда проверка гипотезы осуществляется с помощью доверительного интервала, уровень значимости  и довери-тельная вероятность интервала  связаны соотношением =1–

Уровень значимости

вероятность  попадания в критическую область, в случае, если основная гипотеза истинна

Область допустимых значений

дополнение критической области

Критические значения

точки, разделяющие критическую область и область допусти-мых значений

Распределение Стьюдента с n степенями свободы

распределение случайной величины

,

где , 1,...,n – независимые, стандартные нормальные случай-ные величины. При n > 20 практически неотличимо от N(0,1)

Квантиль уровня U_p величины , имеющей плотность распределения f(x)

значение u_p – верхняя граница интервала, в который с заданной вероятностью p попадает случайная величина, т.е. это u_p – корень решения уравнения

№

п/п

Новые понятия

Содержание

Ошибка первого рода

ошибка , которую совершают, отвергнув основную гипотезу, когда она истинна

Ошибка второго рода

ошибка , которую совершают, приняв основную гипотезу, когда она ложна

Мощность критерия

вероятность (1 – ) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвер-гнуть гипотезу Н₀, когда она неверна (это вероятность попа-дания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза)

Функция правдоподобия

плотность вероятности (в дискретной модели просто вероят-ность) совместного появления результатов выборки x₁,x₂,…,x_n

Метод максимального правдоподобия

метод, который состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра  принимается такое значение n, при котором плотность вероятности (в дискретной модели просто вероятность) совместного появления результатов выборки x₁, x₂,…x_n максимальна (в котором функция правдоподобия достигает максимума)

Отношение вероятностей Ln

(отношение функций правдоподобия для конкурирующих гипотез) для n испытаний:

Метод последовательного анализа

метод, который состоит в том, что необходимое число наблюдений не фиксируется заранее, а определяется в процессе эксперимента; область значений в n-мерном пространстве делится на три части: критическую для гипотезы Н₀ (ее вероят-ность при условии, что верна гипотеза Н₀ – ), критическую для гипотезы Н₁ (ее вероятность при условии, что верна гипотеза Н₁ – ) и область неопределенности. Эксперимент продолжается, пока выборочные значения не попадут в одну из критических областей – или критическую для гипотезы Н₀, или критическую для гипотезы Н₁