С овременная

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

________________________________________________________

1403.03.01;РУ.01;2

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося___________________________________________________

Направление подготовки_______________________________________________________________

Номер контракта______________________________________________________________________

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЮНИТА 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

МОСКВА 2009

Разработано И.Б. Чернышевой, канд. тех. наук

Рекомендовано Учебно-методическим советом в качестве учебного пособия для студентов СГА

КУРС: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Юнита 1. Введение в теорию вероятностей.

Юнита 2. Многомерные распределения и предельные теоремы.

Юнита 3. Основные понятия математической статистики.

Юнита 4. Прикладная статистика.

Юнита 5. Введение в теорию случайных процессов.

ЮНИТА 3

Рассмотрены основные понятия математической статистики: выборочный метод, построение точечных оценок для параметров распределения, доверительные интервалы, проверка статисти-ческих гипотез. В приложении дан список формул по теории вероятностей и математической статистике.

Рабочий учебник составлен на основе дидактических единиц учебников, имеющих гриф Министерства образования и науки Российской Федерации или Учебно-методического объединения:

1. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [ЭР] / Е. С. Вентцель. - М. : Высшая школа, 2006.

2. Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов. [Текст] : учеб. пособие - ("Учебники РУДН") / В. Л. Клюшин - М. : ИНФРА-М, 2009.

3. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [ЭР] / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2006.

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

_____________________________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2009

(настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано и распространено в качестве официального издания без разрешения руководства СГА)

Соответствие системы менеджмента качества СГА в сфере создания информационных образовательных ресурсов

требованиям международного стандарта ISO 9001:2000 (ГОСТ Р ИСО 9001-2001) подтверждено

Сертификатом соответствия Стандарт-тест

О главление

Стр.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН 5

ЛИТЕРАТУРА 6

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ 7

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР 10

Введение 10

1 Выборочный метод 11

1.1 Выборка 11

1.2 Методы отбора. Репрезентативность выборки. Выборка повторная и бесповторная 12

1.3 Вариационный ряд. Группировка. Табличное представление выборки 14

1.4 Графическое представление выборки. Полигон, гистограмма, кумулята 17

1.5 Числовые характеристики выборки 20

1.6 Связь между статистическим распределением выборки и изучаемым распределением вероятностей 22

1.6.1 Полигон и многоугольник распределения 23

1.6.2 Гистограмма и плотность вероятности 23

1.6.3 Кумулята, эмпирическая и теоретическая функции распределения 25

2 Построение точечных оценок для параметров распределения 26

2.1 Распределения вероятностей, зависящие от параметра 26

2.2 Метод моментов 26

2.3 Вычисление эмпирических моментов 31

2.5 Понятие надежности оценки 33

2.6 Распределение выборочного среднего 34

2.7 Связь между точностью и надежностью оценки 34

3 Интервальные оценки для параметров 37

3.1 Понятие доверительного интервала 37

3.2 Доверительный интервал для среднего в случае, когда среднеквадратическое отклонение  теоретического распределения известно 38

3.3 Доверительный интервал для среднего в случае, когда среднеквадратическое отклонениетеоретического распределения неизвестно 39

3.4 Оценка требуемого объема выборки 41

3.5 Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли 41

3.6 Односторонние доверительные интервалы 43

4 Проверка статистической гипотезы 45

4.1 Проверка гипотезы о равенстве среднего числовому значению 46

4.2 Сравнение двух генеральных средних 48

4.3 Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия 52

4.4 Число испытаний при проверке гипотезы 54

5 Методы, основанные на свойствах функции правдоподобия 55

5.1 Функция правдоподобия 55

5.2 Метод максимального правдоподобия для получения оценки неизвестного параметра  56

5.3 Функции правдоподобия в задачах проверки гипотез 57

5.4 Проверка гипотез методом последовательного анализа 59

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Греческий алфавит 61

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Теория вероятностей 62

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 72

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 77

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ 82

ГЛОССАРИЙ 94

Частота варианта 94

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Предмет математической статистики. Метод сплошных наблюдений и выборочный метод. Понятие выборки. Табличное и графическое представление выборки – полигон и гистограмма.

Выборочное среднее и его закон распределения, выборочная дисперсия. Точечные оценки и их свойства: состоятельность, несмещенность. Идея метода моментов. Числовые характеристики случайных величин и их вероятностный смысл. Некоторые распределения: биномиальное, пуассоновское, равномерное, показательное, нормальное.

Интервальное оценивание. Распределение Стьюдента. Доверительные интервалы для генерального среднего нормальной величины с известной и неизвестной дисперсией. Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли. Односторонние доверительные интервалы.

Проверка статистических гипотез. Уровень значимости, ошибки первого и второго рода. Методы проверки статистических гипотез: с использованием доверительных интервалов, методом Неймана-Пирсона, методом последовательного анализа.

ЛИТЕРАТУРА

Учебные издания^*

1. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [ЭР] / Е. С. Вентцель. - М. : Высшая школа, 2006. (гриф УМО).

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистика [Текст] / В. Е. Гмурман. - М. : Высшая школа, 2005.

3. Клюшин, В. Л. Высшая математика для экономистов. [Текст] : учеб. пособие - ("Учебники РУДН") / Клюшин В. Л. - М. : ИНФРА-М, 2009 (гриф МО РФ).

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [ЭР] / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2006 (гриф УМО).

5. Кузнецов, Б. Т. Математика [Текст] : учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Б. Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 719 с.

6. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей / В. П. Чистяков. - СПб. и др., Лань, 2003. - 269 с.

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ

№ п/п	Умение	Алгоритм
1	Построение по выборке таблицы распределения, полигона и гистограммы	1. Упорядочить заданные значения по возрастанию, сосчитать их количество. 2. Если надо, сгруппировать значения; сосчитать число значений, попавших в интервалы разбиения; вычислить эмпирические частоты; составить таблицу эмпирического распределения. 3. По таблице эмпирического распределения нарисовать гистограмму и полигон, найти медиану
2	Вычисление точечных оценок параметров распределения по выборке	1. Выписать заданные значения, объем выборки и нужную формулу для получения точечной оценки. Указание к шагу: Вычисление точечной оценки для среднего производится по формуле: – для выборки, заданной вариационным рядом, и – для выборки, заданной таблицей. Вычисление смещенной точечной оценки для дисперсии производится по формуле: – для выборки, заданной вариационным рядом, и по формуле: – для выборки, заданной таблицей. Вычисление несмещенной точечной оценки для дисперсии производится по формуле: , – оценка для среднеквадратического отклонения. 2. Сосчитать значение оценки
3	Вычисление доверительных интервалов для среднего	1. Сосчитать выборочное среднее, выборочное среднеквадратическое отклонение (если не известно истинное), выписать нужную формулу доверительного интервала. Указание к шагу (пользоваться таблицами приложение 3). Формула доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения : , где k находится из таблицы 5 нормального распределения по заданному уровню доверия . Если среднеквадратическое отклонение неизвестно, вместо  надо использовать его эмпирическую оценку S с заменой в формуле доверительного интервала n на n–1 и вместо значений k нормального распределения использовать значения tn–1, распределения Стьюдента с n степенями свободы, содержащиеся в Таблице 6: , где tn–1, находится с помощью таблица 6. Ту же формулу можно выписать через несмещенную оценку s
№ п/п	Умение	Алгоритм
3		. 2. Пользуясь таблиц 5 или 6 вычислить границы требуемого в задании интервала, выписать полученный доверительный интервал
4	Вычисление доверительного интервала для вероятности p наступления события А с помощью таблиц нормального распределения	1. Вычислить оценку для p. 2. Найти доверительный интервал для p. Указание к шагу: Основная формула – следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа, из которой выводятся любые соотношения между эмпирической частотой, генеральной частотой, n и вероятностью : Доверительный интервал для p ищется по формуле: – выборка с повтором, – выборка без повтора, где k = 1,96 для уровня доверия 95% и k = 3 для уровня доверия 99,7% (таблица 5). 3. В случае, когда требуется, проверить гипотезу, сформулировать вывод из эксперимента, провести вычисления с доверительным интервалом и т.д.
5	Проверка статистических гипотез	1. Выписать из условия задачи данные о выборке. Сосчитать оценки для среднего и дисперсии. 2. Сформулировать проверяемую гипотезу в вероятностных терминах. Выписать формулу статистики, вычисляемой по выборке. Выписать число степеней свободы N для распределения статистики. Подставить в формулу статистики данные выборки. Указание к шагу: Проверка гипотезы производится на заданном уровне значимости . Изучаются два варианта: 1) Выборка из одной совокупности, ее параметр (среднее) сравнивается с известным значением. То есть проверяется гипотеза Н0:  = 0. Альтернативными гипотезами Н1 могут быть:   0;  > 0;  < 0. По выборке вычисляется значение статистики: . Число степеней свободы N = n – 1, где n – объем выборки. 2) Сравниваются параметры двух генеральных совокупностей. Из обеих делаются выборки, проверяется гипотеза Н0: x = y
№ п/п	Умение	Алгоритм
5		Альтернативными гипотезами Н1 могут быть: x  y; x > y; x < y. По выборке вычисляется значение статистики: , где Число степеней свободы N = n + m – 2, если n – объем выборки из Х, а m – объем выборки из Y. 3. Выписать критическую область и с помощью таблиц найти границы критической области для статистики, с помощью которой будет проверяться гипотеза. Указание к шагу. a) Гипотеза H0: 1 = 2, альтернативная Н1: 1  2. Критическая область для проверки гипотезы: |T| > tN; (tN; отыскивается по таблица 6 критических значений распределения Стьюдента,  в верхней строке). Если вычисленное значение не попало внутрь интервала [–tN;, tN;], то гипотеза Н0 не проходит при уровне значимости . b) Гипотеза H0: 1 = 2, альтернативная Н1:1 > 2. Критическая область для проверки гипотезы: T > tN; (tN; отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,  в нижней строке). Если вычисленное значение попало внутрь интервала [tN;,], то гипотеза Н0 не проходит при уровне значимости . c) Гипотеза H0: 1 = 2, альтернативная Н1:1 < 2. Критическая область для проверки гипотезы: T < –tN, (tN, отыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента,  в нижней строке) Если вычисленное значение попало внутрь интервала [–,–tN,], то гипотеза Н0 не проходит при уровне значимости . 4. Проверить, попало или нет в критическую область значение статистики. Сформулировать вывод, требуемый в задаче

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР^*

Введение

В основе всех научных знаний лежит наблюдение. Для обнаружения общей закономерности, которой подчиняется явление, необходимо многократно его наблюдать в одинаковых условиях. Например, начальник цеха изучает вопрос о проценте брака для изделий, обработанных на некотором станке. Обследуется 100, 1000 изделий. Сколько должно быть проведено наблюдений? Как обработать результаты наблюдений и сделать обоснованные практические выводы? Или такой пример. Исследователя интересует зависимость урожайности определенной культуры от количества внесенных удобрений и качества обработки почвы. Для выяснения этой зависимости собраны сведения об урожайности, количестве внесенных удобрений и качеству обработки по достаточно большому числу одинаковых участков. Как, используя эти сведения, оценить зависимость урожайности от количества удобрений и условий обработки почвы? В обоих приведенных примерах, а также и во многих других явлениях, можно отметить, что, несмотря на постоянство условий испытания, результат опыта неоднозначен. Детали обрабатываются вроде бы одинаково, однако одни из них удовлетворяют требованиям приемки, другие – нет. Урожай, выращенный на “одинаковых” участках, – различен, и так далее. Предвидеть результат каждого конкретного опыта нельзя. Однако если систематизировать результаты измерений, то можно увидеть в их изменении некоторую закономерность, которая называется статистической устойчивостью. И хотя предвидеть результат каждого конкретного опыта нельзя, оказывается можно предвидеть в среднем результат серии измерений. Изучением закономерностей случайных явлений, а мы привели примеры именно случайных явлений, занимается теория вероятностей. Она строит математические модели случайных явлений, основываясь на формально логических рассуждениях. Например, в результате опыта может произойти одно из n событий, ни одно из которых не имеет перед другими никакого преимущества (бросается монета или игральный кубик). Логически рассуждаем – их вероятности одинаковы. Построенная теоретически модель позволяет вычислять вероятности наступления сложных случайных событий, представляющих интерес для практики. Например, какова вероятность, что, играя в монетку, сделав 100 попыток, я не проиграю весь свой капитал? Если говорить коротко, теория вероятностей позволяет находить вероятности “сложных” событий через построенные теоретически вероятности “простых” событий. Математическая же статистика оперирует результатами наблюдений над случайными явлениями для того, чтобы оценить их вероятности, либо с помощью серии опытов осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. В самом общем виде то, чем занимается математическая статистика, можно описать так.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Математическая статистика, опираясь на вероятностные модели, в свою очередь, влияет на развитие теории вероятностей. Математическая статистика и теория вероятностей – две неразрывно связанные науки.

У истоков статистической науки стояли две школы – немецкая описательная и английская школа политических арифметиков. Школа политических арифметиков зародилась в XVII веке. Именно представителями школы политических арифметиков была осознана необходимость учета в статистических исследованиях требований закона больших чисел, поскольку законо-мерность может проявиться лишь при достаточно большом объеме анализируемой совокуп-ности. В XIX веке бельгийский статистик Кетле положил основание учению о средних величинах. Своим дальнейшим развитием математическая статистика обязана П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др. Существенный вклад в математическую статистику был сделан в ХХ веке советскими математиками (В.И. Романовский, Е. Е.Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.