3 Метод скінченних елементів
3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів
Метод скінченних елементів є потужним сучасним засобом наближеного розв’язування різноманітних задач математичної фізики, що є орієнтованим на ефективне використання комп’ютерів.
Основна концепція МСЕ полягає в розбитті області розрахунковою сіткою на скінченні елементи, побудові матриці жорсткості, приведенні навантаження до вузлового для кожного скінченого елемента.
Під скінченним елементом потрібно розуміти не лише деяку малу область тіла, а область тіла в сукупності із заданими в ній апроксимаційними функціями.
Кожен елемент описується характерними точками, що називаються вузлами. Вузли звичайно знаходяться в кутових або крайніх точках елемента, але можуть бути також розташовані між кутовими вузлами та в середині елемента. Дане розходження зв'язане з порядком апроксимації, що забезпечує даний скінченний елемент. Елементи, що мають тільки кутові вузли, називаються лінійними і забезпечують лінійну інтерполяцію. Елементи, що мають додаткові вузли на своїх границях між кутовими крапками, можуть забезпечувати квадратичну або навіть кубічну інтерполяцію. У першому випадку такі елементи називаються квадратичними. Відзначимо також, що існують елементи, що мають внутрішні вузли. Теоретично такі елементи забезпечують більш точний опис геометрії тіла і шуканих функцій, однак широкого поширення даний тип елементів не одержав. При наявності сучасних автоматичних генераторів сітки часто буває простіше та зручніше розбити конструкцію на більше число лінійних елементів простої форми, аніж використання елементів високого порядку. Елементи, що не мають внутрішніх вузлів, відносяться до серендипового типу.
Кожен елемент характеризується також кількістю ступенів вільності. Завдяки спільним ступеням вільності відбувається збір моделі і формування глобальної матриці жорсткості. Як ступені вільності можуть фігурувати вузлові значення невідомої функції або її похідні по просторових координатах у вузлах. У першому випадку елементи відносяться до типу лагранжевих елементів; у другому випадку – до типу ермітових елементів.
В просторових задачах найбільш поширені такі форми скінченних елементів, як тетраедри, призми та гексаедри.
3.2 Алгоритм чисельного розв’язування варіаційної задачі.
Метод скінчених елементів є методом знаходження мінімуму функціоналу.
Визначимо
- скінченновимірний підпростір із
розмірності
.
Виберемо у
базисні функції
,
.
Це можуть бути білінійні або квадратичні
функції МСЕ. Функції
ще називаються апроксимуючими. Тоді
шукані переміщення можна записати у
такому вигляді:
.
(3.1)
де − загальне число степенів вільності, яке в загальному випадку не рівне числу вузлів, так як в кожен вузол може бути введено різна кількість степенів вільності.
− cтeпені
вільності,
які
в МСЕ, як правило, забезпечуються фізичним
змістом і являють собою шукані значення
переміщень чи їх похідних у вузлах
розрахункової сітки.
Підставивши (3.1) в (2.9), одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(3.2)
де
– вектор вузлових значень переміщень,
– вектор
зовнішніх навантажень,
– матриця
жорсткості кусково-однорідного тіла
,
що утворюється із матриць жорсткості
усіх елементів областей
,
.
Розбиття
системи на скінчені елементи дає
можливість представити потенціальну
енергію деформації
і роботу зовнішніх сил
у вигляді сум по окремим елементам:
(3.3)
де
-
номер скінченного елемента
Це
дозволяє складати елементи матриці
і вектора
із окремих компонент. Так,
−
елемент матриці
і
−
елемент вектора
визначаються по формулам:
(3.4)
де
−
сумування по всіх елементах, що містять
і
степені вільності:
− компоненти
матриці жорсткості і вектора зовнішніх
навантажень для
скінченного елемента, тобто:
(3.5)
(3.6)
де
− область
скінченого елемента.
Таким чином, МСЕ дає можливість будувати розв’язувану систему рівнянь (3.2) на основі розгляду кожного окремого скінченного елемента, що є дуже зручно в реалізації і є важливою перевагою методу.
Отже,
нам потрібно дискретизувати області
,
,
...,
,
та на кожному скінченному елементі цих
областей будувати матриці жорсткості,
виходячи з пружних властивостей окремих
матеріалів.
Отже, розрахунок напружено-деформованого стану конструкції в рамках лінійної теорії пружності при дії на неї статичних навантажень зводиться до розв’язку системи лінійно-алгебраїчних рівнянь. Зазвичай для цього використовують метод Гауса, метод квадратного кореня (метод Холецького), метод Зейделя та інші прямі та ітераційні методи. В результаті визначаються значення ступенів вільності. По найденому вектору ступенів вільності і апроксимаційних функціях визначається функція переміщень по всій області системи, а по ній – напруження і деформації.