14. Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо рівняння

, (14.1)

де права частина має спеціальний вигляд

(14.2)

Загальний розв`язок (14.1) за теоремою 1 п.12 має вигляд , де - загальний розв`язок відповідного однорідного рівняння, а - частинний розв`язок рівняння (14.1).

Щоб знайти частинний розв`язок (14.1), будемо шукати його у вигляді

(14.3)

де , якщо не є коренем характеристичного рівняння

(14.4)

відповідного однорідного рівняння, , якщо простий корінь рівняння (14.4) і , якщо подвійний корінь характеристичного рівняння (14.4).

У випадку, якщо права частина (14.1) має вигляд

, (14.5)

то шукаємо розв`язок (14.1) у вигляді

, (14.6)

якщо не є коренем характеристичного рівняння (14.4) і у вигляді

, (14.7)

якщо є коренем характеристичного рівняння (14.4).

У випадку, якщо права частина (14.1) не має спеціального вигляду розв`язок (14.1) шукаємо у вигляді

, (14.8)

де і - фундаментальна система розв`язків відповідного однорідного рівняння, а і шукані функції, які задовольняють системі рівнянь

(14.9)

Розв`язавши систему (14.9) і підставивши цей розв`язок у (14.8) , знайдемо загальний розв`язок (14.1).

Приклад 1. Знайти розв`язок рівняння .

Розв`язання. Згідно з теоремами 1 і 2 п. 12, маємо , де - загальний розв`язок відповідного однорідного рівняння , - частинний розв`язок рівняння , а - частинний розв`язок рівняння .

Характеристичне рівняння має корені і ,

.

Знайдемо вигляд для рівняння . Тому що простий корінь характеристичного рівняння , а - многочлен першого степеня, то шукати розв`язок потрібно у вигляді . Знайдемо вигляд для рівняння . Тому що не є коренем характеристичного рівняння, то шукаємо розв`язок у вигляді . Тоді

Підставимо у ліву частину рівняння і добудемо тотожність

Добуваємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів , , , :

Розв`язавши систему, знайдемо , , , .

Загальний розв`язок рівняння має вигляд

.