Питання для самоперевірки.
Яке рівняння називається диференціальним ?
Що називають порядком диференціального рівняння ?
Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, яке розв`язане відносно похідної ?
Що називають розв`язком диференціального рівняння ?
Що називають інтегральною кривою диференціального рівняння
?Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння .
Що називається загальним розв`язком диференціального рівняння ?
Як із загального розв`язку диференціального рівняння добути частинний розв`язок ?
Яке диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними ?
Дати означення однорідної функції і однорідного диференціального рівняння першого порядку.
Як розв`язати однорідне рівняння першого порядку ?
Дати означення лінійного рівняння першого порядку. Як розв`язати таке рівняння ?
Який вигляд має рівняння Бернуллі ?
Як розв`язати рівняння Бернуллі ?
Дати означення рівняння у повних диференціалах.
9.Рівняння вищих порядків.
У загальному випадку рівняння
-го
порядку має вигляд
. Якщо це рівняння можна розв`язати
відносно
,
тоді
(9.1)
Задача, яка полягає у знаходженні розв`язку (9.1), який задовольняє початкові умови
(9.2)
називається задачею Коші. Розв`язок задачі Коші дає теорема.
Теорема Коші.
Якщо в рівнянні (9.1) функція
та її частинні похідні по
неперервні в області
, яка містить значення
,
то існує єдиний розв`язок, який задовольняє
початкові умови (9.2).
Загальним розв`язком
(інтегралом) називається функція
(
яка задовольняє умови:
1) при довільних сталих
вона задовольняє диференціальному
рівнянню;
2) при довільних умовах (9.2)
існують такі сталі
, при яких ці умови
виконуються.
Частинний розв`язок
(інтеграл ) дістаємо із загального при
.
10. Рівняння, які допускають зниження порядку.
У деяких випадках порядок рівняння може бути знижений. Прийоми такого зниження різноманітні. Вкажемо деякі з них.
1.
Загальний розв`язок можна
дістати після
-
кратного інтегрування
2.
Тут немає
. Користуємося підстановкою
,
. Рівняння набуває вигляду
і має перший порядок відносно
.
3.
Тут немає
. Користуємося підстановкою
.Тоді
.
Рівняння набуває вигляду
і має перший порядок відносно
.
Зауваження 1.
Якщо маємо рівняння
,
то доцільніше застосовувати випадок
2.
Зауваження 2.Якщо задані початкові умови, то доцільніше при інтегруванні одразу визначити довільні сталі.
Приклади 1. Розв`язати рівняння
.
Покладемо
,
. Маємо
. Це рівняння з
відокремлюваними змінними. Маємо
:
, або
,
,
,
.
2. Розв`язати рівняння
,
,
,
.
Покладемо
,
. Маємо
,
,
,
.
Підставляємо початкові умови
і знаходимо
:
,
. Маємо рівняння
,
,
.
Перед квадратним коренем потрібно
обрати знак ,,-“ , бо
при
,
. Зінтегрувавши останнє рівняння
добуваємо
,
.
Визначаємо сталу
:
,
і добуваємо шуканий частинний розв`язок
,
.